Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

В сфе ри че ских ко ор ди на тах:
Ñ =
r
r
f
f
;
Ñ =
q
r q
f
f
1
;
Ñ =
j
r q j
f
f
1
sin
4) Век тор ти па ско ро сти
Ес ли рас смат ри вае мый объ ект яв ля ет ся ско ро стью, то при ня то
го во рить, что речь идет век тор ной функ ции точ ки. Го во рят, что в этом
слу чае в рас смат ри вае мой об лас ти про стран ст ва за да но век тор ное по ле.
При ме ром мо жет слу жить элек три че ское поле — векторное поле
электрических сил.
На зо вем век то ром ско ро сти в ко ор ди на тах
( , , )
( ) ( ) ( )
X X X
1 2 3
век -
тор
v t v v v
X X X X
( ) ( ; ; )=
1 2 3
, где
v
dX
dt
X
m
m
=
, m=1,2,3. В ко ор ди на тах
( , , )
( ) ( ) ( )
x x x
1 2 3
:
v
x
X
dX
dt
x
X
v
x
k
k
m
m k
m
X
m
=
× =
×
(сум ми ро ва ние по m), то есть
век тор ско ро сти пре об ра зу ет ся как контр ва ри ант ный век тор.
Квад рат дли ны век то ра ско ро сти:
v
x
X
v
x
X
x
X
v v
x
k
m
x
m
k
k
m
k
l
x
m
x
l
2
2
1
3
=
×
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
×
× ×
=
å
= × ×
=
å
k
ml x
m
x
l
g v v
1
3
,
где вве де но обо зна че ние:
g
x
X
x
X
ml
k
m
k
l
k
=
×
=
å
1
3
(16)
Пусть да ны два век то ра
r
a
k
1
и
r
a
k
2
в ко ор ди на тах
( , , )
( ) ( ) ( )
x x x
1 2 3
. В но -
вой сис те ме ко ор ди нат
( , , )X X X
1 2 3
они пе рей дут в
r
b
m
1
и
r
b
m
2
:
r
a b
k
m
k m
1 1
= a
;
r
a b
k
m
k m
2 2
= a
,
где (
a
m
k
) — мат ри ца Яко би (сум ми ро ва ние по
m
).
Ска ляр ное про из ве де ние в ис ход ной сис те ме ко ор ди нат:
( ; )
( ) ( ) ( ) ( )
r r
a a a a a a
k k
km
k k
k
1
2
1
2
1
2
1
3
= =
=
å
d
.
26
       В сферических координатах:
                                     ¶f         1 ¶f            1 ¶f
                            Ñr f =      ;Ñq f =      ;Ñj f =
                                     ¶r         r ¶q         r sin q ¶j

            4) Вектор типа скорости
            Если рассматриваемый объект является скоростью, то принято
говорить, что речь идет векторной функции точки. Говорят, что в этом
случае в рассматриваемой области пространства задано векторное поле.
Примером может служить электрическое поле — векторное поле
электрических сил.
            Назовем вектором скорости в координатах ( X (1 ) , X ( 2 ) , X ( 3 ) ) век-
                                                        dX m
тор v X (t ) = ( v X1 ; v X2 ; v X3 ), где v Xm =              , m=1,2,3. В ко ор ди на тах
                                                          dt
                                       ¶x k dX m ¶x k
( x (1 ) , x ( 2 ) , x ( 3 ) ): v xk =    m
                                            ×    =    m
                                                         × v Xm (суммирование по m), то есть
                                       ¶X     dt   ¶X
вектор скорости преобразуется как контрвариантный вектор.
            Квадрат длины вектора скорости:
                                             2
                 2      3   æ ¶x k          ö  3
                                                   ¶x k ¶x k
            vx       = åçç       m
                                   × v xm   ÷ =å m × l × v xm × v xl =g ml × v xm × v xl ,
                                            ÷ k =1 ¶X ¶X
                       k =1 è ¶X            ø

где введено обозначение:
                 3
                      ¶x k ¶x k
        g ml = å         m
                           × l                                                               (16)
                 k =1 ¶X    ¶X
                                r      r
      Пусть даны два вектора a1k и a2k в координатах ( x (1 ) , x ( 2 ) , x ( 3 ) ). В но-
                                                         r      r
вой системе координат ( X 1 , X 2 , X 3 ) они перейдут в b1m и b2m :
                                      r                r
                                      a1k = a km b1m ; a2k = a km b2m ,

где (a km ) — матрица Якоби (суммирование по m).
       Скалярное произведение в исходной системе координат:
                                r r        3
                               (a1 ;a2 ) = åa1( k ) a2( k ) = d km a1( k ) a2( k ) .
                                                 k =1


26

Страницы