Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Здесь сум ми ро ва ние идет по но ме ру столб ца k для мат ри цы
$
a
и
но ме ру стро ки од но столб цо вой мат ри цы
$
u
k
. По это му дан ная фор му ла
пред став ля ет со бой про из ве де ние мат ри цы
$
a
на матрицу
$
u
:
$
$ $
U u= ×a
; об рат но:
$ $
$
.u U= ×
-
a
1
Та ким об ра зом, два век то ра
U u
i
= ×
$
a
и
U u
i
= ×
-
~
$
a
1
сов па дут, ес ли
$
~
$
,a a=
-1
или
$
~
$
a a× =1
, то есть ко гда мат ри ца пре об ра зо ва ния
$
a
— ор то го -
наль на.
То есть в мет ри че ском про стран ст ве с пря мо уголь ной сис те мой
ко ор ди нат
a a
m
k
k
m
k m
e E= = ×
r
r
, по это му нет на доб но сти раз ли чать ко ва ри -
ант ные и контр ва ри ант ные векторы — они совпадают.
В об щем слу чае мат ри ца пре об ра зо ва ний
( )
$
a
m
k
k
m
x
x
J=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
на зы -
ва ет ся мат ри цей Яко би. Оп ре де ли тель мат ри цы Яко би на зы ва ет ся яко -
биа ном и обозначается
j
:
j
x
x
J
k
m
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=det det
$
.
(11)
Об рат ная мат ри ца Яко би:
( )a
k
m
m
k
x
x
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
, то есть
×
=
X
x
x
X
k
m
m
l
l
k
d
.
В этих обо зна че ни ях контр ва ри ант ное пре об ра зо ва ние вы гля дит
так:
u
x
X
U
k
k
m
m
m
=
=
å
1
3
и ко ва ри ант ное:
u
X
x
U
k
m
k
m
m
=
=
å
.
1
3
При ме ры:
а) по ляр ные ко ор ди на ты на плос ко сти (r, j):
x r
x r
( )
( )
cos
sin
.
1
2
= ×
= ×
ü
ý
ï
þ
ï
j
j
23
     Здесь суммирование идет по номеру столбца k для матрицы a$ и
номеру строки одностолбцовой матрицы u$ k . Поэтому данная формула
представляет собой произведение матрицы a$ на матрицу u:
                                                      $

                             U$ = a$ × u$; обратно: u$ = a$ -1 ×U$ .

         Таким образом, два вектора U i = a$ × u и U i = a~$ -1 × u совпадут, если
     ~$ -1 , или a$ × a
a$ = a                ~$ =1, то есть когда матрица преобразования a$ — ортого-
нальна.
         То есть в метрическом         пространстве с прямоугольной системой
                              r r
координат a km = a mk = e k × E m , поэтому нет надобности различать ковари-
антные и контрвариантные векторы — они совпадают.
                                                                  æ ¶x k ö
         В общем случае матрица преобразований (a km ) = çç m ÷÷ = J$ назы-
                                                                  è ¶x ø
вается матрицей Якоби. Определитель матрицы Якоби называется яко-
бианом и обозначается j:
               æ ¶x k   ö
       j = detçç m      ÷ = detJ$ .                                          (11)
                        ÷
               è ¶x     ø
                                          æ ¶x m ö       ¶X k ¶x m
       Обратная матрица Якоби: (a mk ) = çç k ÷÷, то есть m ×     l
                                                                    = d kl .
                                          è ¶ x  ø       ¶ x  ¶ X
       В этих обозначениях контрвариантное преобразование выглядит
так:
                                              3
                                                  ¶x k m
                                      uk = å         m
                                                       U
                                             m =1 ¶X


и ковариантное:
                                              3
                                                ¶X m
                                      uk = å        k
                                                      Um.
                                            m =1 ¶x


       Примеры:
       а) полярные координаты на плоскости (r, j):

                                       x (1 ) = r × cos jüï
                                                           ý.
                                       x ( 2 ) = r × sin jïþ

                                                                               23

Страницы