Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ана ло гич но:
r
e e
i k
k
i
l
l
k
l
=
=
¢
¢
=
å å
1
3
1
3
a a .
(8)
То есть
a a a a
i
l
l
j
l
i
l
l
j
l
i j
i j
i j
¢
¢
=
¢
¢
=
å å
=
¹
=
ì
í
î
=
¹
1
3
1
3
0
1
0( )
( )
;
( )
1( )i j=
ì
í
î
.
Пре об ра зо ва ния век то ров (5) и (6) мож но за пи сать так:
E e
m m
k
k
= a
r
;
r
e E
k k
m
m
=
¢
a .
А так же для (7), (8):
E E
m i
l
l
k
k
=
¢
¢
a a ;
r r
e e
i i
l
l
k
k
=
¢
¢
a a .
Здесь идет сум ми ро ва ние по «не мо му» ин дек су.
5) Ус ло вие
r r
e e
3
3
1=
оз на ча ет, что
| |
| |
e
e e e
h
3
3
3
3
1 1
= =
cos( , )
. То есть,
ес ли (
r
e
1
,
r
e
2
,
r
e
3
) — ор ты пря мо уголь ной сис те мы ко ор ди нат, то вза им -
ный к не му ба зис (
r
e
1
,
r
e
2
,
r
e
3
) сов па да ет с ос нов ным.
При мер:
r r r r r
B B b B b B b B b
k
k
k
= + + =
=
å
1
1
2
2
3
3
1
3
, где
r
b
1
,
r
b
2
,
r
b
3
— не ком -
пла нар ные век то ры.
Ум но жим век тор
r
B
ска ляр но на
r
b
i
— век тор вза им но го базиса:
r r r r
B b B b b B
i k
k
i i
k
× = =
=
å
1
3
,
то есть раз ло же ние век то ра
r
B
по ба зи су (
r
b
1
,
r
b
2
,
r
b
3
) вы ра жа ет ся че рез про -
ек ции век то ра на вза им ный ба зис:
r r r r
B Bb b
k
k
k
=
=
å
( )
1
3
.
Ин декс, встре чаю щий ся один раз, при ни ма ет зна че ния 1,2,3
(в трех мер ном про стран ст ве).
На при мер,
A
i
оз на ча ет со во куп ность трех ве ли чин A
1
,A
2
,A
3.
За пись
A
ik
оз на ча ет со во куп ность 9=3
2
ве ли чин A
11
,A
12
,A
13
,A
21
,A
22
,A
23
,A
31
,A
32
,A
33
,
за пись A
ik
— со во куп ность та ких 9 ве ли чин: A
11
,A
12
,A
13
, ... A
33
. По два ж ды
по вто ряе мо му ин дек су под ра зу ме ва ет ся сум ми ро ва ние от 1 до 3.
21
      Аналогично:
      r     3     3
      e i = å e k åa li ¢a kl ¢ .                                                                      (8)
            k =1    l =1

      То есть
                            3                   ì0(i ¹ j ) 3 l ¢ j ì0(i ¹ j )
                           åa     l
                                  i¢   a lj ¢ = í         ; åa i a l ¢ = í         .
                           l =1                 î1(i = j ) l =1          î1(i = j )
      Преобразования векторов (5) и (6) можно записать так:
                                 r r
                      E m = a km e k ; e k = a mk ¢ E m .

      А также для (7), (8):
                                                            r                  r
                                   E m = a li ¢a kl ¢ E k ; e i = a li ¢a kl ¢ e k .

      Здесь идет суммирование по «немому» индексу.
                 r r                                                                 1          1
      5) Условие e 3 e 3 = 1 означает, что e 3 =                  | |                  3
                                                                                               = . То есть,
                                                                            |e 3 |cos(e , e 3 ) h
      r r r
если (e1 , e 2 , e 3 ) — орты прямоугольной системы координат, то взаим-
                         r r r
ный к нему базис (e 1 , e 2 , e 3 ) совпадает с основным.
                       r    r      r     r    3    r        r r r
      Пример: B = B 1 b1 + B 2 b2 + B 3 b3 = å B k bk , где b1 ,b2 ,b3 — неком-
                                                                  k =1

планарные векторы.  r                 r
     Умножим вектор B скалярно на b i — вектор взаимного базиса:
                      r r      3     r r
                     B × b i = å B k bk b i = B i ,
                                                    k =1
                           r            r r r
то есть разложение вектора B по базису (b1 ,b2 ,b3 ) выражается через про-
                                   r 3 rr r
екции вектора на взаимный базис: B = å(Bb k )bk .
                                                                k =1

       Индекс, встречающийся один раз, принимает значения 1,2,3
(в трехмерном пространстве).
       Например, Ai означает совокупность трех величин A1,A2,A3. Запись
Aik означает совокупность 9=32 величин A11,A12,A13,A21,A22,A23,A31,A32,A33,
запись Aik — совокупность таких 9 величин: A11,A12,A13, ... A33. По дважды
повторяемому индексу подразумевается суммирование от 1 до 3.
                                                                                                        21

Страницы