Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

В даль ней шем при ни ма ет ся пра ви ло Эйн штей на — сум ми ро ва -
ние по два ж ды встре чае мо му ин дек су пи шет ся без знака суммы:
x y x y
i i i i
i
º
=
å
1
3
.
(4)
Та кой ин декс на зы ва ет ся не мым.
Вы ше да но не пол ное оп ре де ле ние век то ра. Для пол но го оп ре де -
ле ния век то ра еще на до за дать пра ви ло его пре об ра зо ва ния при пе ре хо -
де в дру гую сис те му координат (см. раздел 3.2.2).
7) Пред став ле ние век то ра в ви де на бо ра чи сел (x
1
,x
2
,x
3
) мож но рас -
смат ри вать как строч ную мат ри цу. Век тор мож но за да вать и столб цо вой
мат ри цей. Объ ект, ха рак те ри зую щий ся де вя тью чис ла ми в ви де квад -
рат ной мат ри цы:
t t t
t t t
t t t
11 12 13
21
22 23
31
32 33
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
с ука за ни ем пра ви ла пре об ра зо ва ния
при пе ре хо де в дру гую сис те му ко ор ди нат на зы ва ет ся тен зо ром вто ро го
ран га.
Тен зо ром третье го ран га бу дет трех мер ная мат ри ца и т.д.
Не труд но ви деть, что ска ляр есть ча ст ный слу чай век то ра, а век -
тор — ча ст ный слу чай тен зо ра. Под роб нее по ня тие тен зо ра бу дет рас -
кры то ниже в разделе 3.2.4.
3.2.2. Ти пы век то ров
Век тор мо жет быть двух ти пов в за ви си мо сти от то го, как он пре -
об ра зу ет ся в ре зуль та те пре об ра зо ва ния ко ор ди нат: ко ва ри ант ный или
контрвариантный.
1) Ко ва ри ант ный век тор
В пря мо уголь ной сис те ме ко ор ди нат лю бой век тор
r
A
мо жет быть
раз ло жен по трем проекциям:
r r r r
A A i A i A i= + +
1 1
2 2 3 3
где A
1
, A
2
, A
3
— ком по нен ты век то ра
r
A
;
r
i
1
,
r
i
2
,
r
i
3
— ор ты.
Ес ли сис те ма ко ор ди нат ко со уголь ная, то раз ло же ние век то ра
r
B
по
трем про из воль ным не ком пла нар ным век то рам
r
b
1
,
r
b
2
,
r
b
3
про из во дит ся
19
     В дальнейшем принимается правило Эйнштейна — суммирова-
ние по дважды встречаемому индексу пишется без знака суммы:
       3
             i
      åx         yi º xiyi.                                             (4)
      i =1

      Такой индекс называется немым.
      Выше дано неполное определение вектора. Для полного опреде-
ления вектора еще надо задать правило его преобразования при перехо-
де в другую систему координат (см. раздел 3.2.2).

       7) Представление вектора в виде набора чисел (x1,x2,x3) можно рас-
сматривать как строчную матрицу. Вектор можно задавать и столбцовой
матрицей. Объект, характеризующийся девятью числами в виде квад-
                   æ t 11 t 12 t 13 ö
                   ç                ÷
ратной матрицы: ç t 21 t 22 t 23 ÷ с указанием правила преобразования
                   çt               ÷
                   è 31 t 32 t 33 ø
при переходе в другую систему координат называется тензором второго
ранга.
       Тензором третьего ранга будет трехмерная матрица и т.д.
       Не трудно видеть, что скаляр есть частный случай вектора, а век-
тор — частный случай тензора. Подробнее понятие тензора будет рас-
крыто ниже в разделе 3.2.4.

      3.2.2. Типы векторов

     Вектор может быть двух типов в зависимости от того, как он пре-
образуется в результате преобразования координат: ковариантный или
контрвариантный.

       1) Ковариантный вектор                                  r
       В прямоугольной системе координат любой вектор A может быть
разложен по трем проекциям:
                          r      r       r        r
                          A = A1 i1 + A2 i 2 + A3 i 3
                                       r r r r
где A1, A2, A3 — компоненты вектора A; i1 ,i 2 ,i 3 — орты.
                                                                       r
       Если система координат косоугольная, то разло    r же
                                                          r ние
                                                             r вектора B по
трем произвольным некомпланарным векторам b1 ,b2 ,b3 производится

                                                                        19

Страницы