Математика. Раздел 3. Математическое моделирование в экономике и управлении. Казанцев Э.Ф. - 24 стр.

      i = 1,2,..6        j = 0,1,..5
      Полученная схема явная, так как значения сеточной функции в каждом
узле верхнего слоя j+1 выражается явно через ранее найденные значения на
предыдущем слое.
      Для начала счета, т.е. для вычисления сеточной функции на первом
слое, необходимы ее значения на слое j=0. Они определяются начальным
условием Ui , 0 = Vi i=0,1,…6. Граничное условие записывается в виде U0 , j=
Wj, j = 1,2,…6. Данная схема устойчива, если 0 ≤ k ≤ h / a .
      ПРИМЕР 2. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
      Одним из наиболее распространенных в инженерной практике
уравнений с частными производными 2-го порядка является волновое
уравнение, описывающее различные виды колебаний.
      Одномерное волновое уравнение описывает продольные колебания
стержня, поперечные колебания тонкого стержня.
      Двумерное – колебания тонкой пластины.
      Трехмерное – распространение волн в пространстве.
      Рассмотрим одномерное волновое уравнение:

       ∂ 2u             ∂ 2u
            = a     2

       ∂t 2             ∂x 2
      Для поперечного колебания функция u(x, t) описывает положение
струны в момент t.
             T
      a2 =     , где Т – натяжение струны, р – ее плотность.
             p

      Начальные условия задают в начальный момент времени t=0.
                                  ∂u
      u(t=0)= u (x,0) = V (x),       = W (x )
                                  ∂t
      V(x) – начальная форма струны,
      W(x) – скорость точек струны
      Граничные условия: для струны длины l задают условия на ее концах.
      u(x=0) = u (0, t) = G (t)


                                                24