Математика. Раздел 3. Математическое моделирование в экономике и управлении. Казанцев Э.Ф. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

U (I, t) = u
I, j
= H (t
j
)
Данная схема условно устойчива: условия устойчивости
1<
h
ak
ПРИМЕР 3. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Запишем смешанную краевую задачу в виде:
0,0,10,
2
2
>>≤≤
∂
∂
=
∂
∂
atx
x
u
a
t
u
начальные условия u (x, 0) = f (x), граничные условия u (0, t) = V (x), u
(l, t) = W (x), где
f (x) – начальное распределение температуры (при t=0)
V (x) и W (x) – распределение температуры на концах отрезка в момент
времени t.
Введем прямоугольную сетку
x
i
= x
0
+ ih (i = 0,1,…,I)
t
j
= t
0
+ jk (j = 0,1,…,J)
h и k – соответственно шаг сетки по направлению х и t.
Значение функции в узлах сетки
u
i , j
= u (x
i
, t
j
)
Заменяя в исходном уравнении частные производные искомой функции
с помощью конечных разностей, получаем разностную схему
2
,1,,1,1,
2
h
uuu
a
k
uu
jijijijiji −++
+
−
=
−
i = 1,2,…,I-1 j = 0,1,…,J
В записи этой схемы для каждого узла сетки использован шаблон (см.
рис. 3.4.)
26
                                  U (I, t) = uI, j = H (tj)
      Данная схема условно устойчива: условия устойчивости
       ak
          <1
        h
      ПРИМЕР 3. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
      Запишем смешанную краевую задачу в виде:

       ∂u   ∂ 2u
          =a 2                  , 0 ≤ x ≤1, t > 0 , a > 0
       ∂t   ∂x
      начальные условия u (x, 0) = f (x), граничные условия u (0, t) = V (x), u
(l, t) = W (x), где
      f (x) – начальное распределение температуры (при t=0)
      V (x) и W (x) – распределение температуры на концах отрезка в момент
времени t.
      Введем прямоугольную сетку
      xi = x0 + ih            (i = 0,1,…,I)
      tj = t0 + jk            (j = 0,1,…,J)
      h и k – соответственно шаг сетки по направлению х и t.
      Значение функции в узлах сетки
      ui , j = u (xi, tj)
      Заменяя в исходном уравнении частные производные искомой функции
с помощью конечных разностей, получаем разностную схему

       u i , j +1 − u i , j          u i + 1, j − 2 u i , j + u i − 1, j
                               =a
                k                                   h2
      i = 1,2,…,I-1                        j = 0,1,…,J




      В записи этой схемы для каждого узла сетки использован шаблон (см.
рис. 3.4.)




                                                      26

Страницы