Математика. Раздел 3. Математическое моделирование в экономике и управлении. Казанцев Э.Ф. - 25 стр.

      u(x=l) = u (l, t) = H (t)
      Для построения разностной схемы выберем шаблон (рис 3.3)


                                                               i, j+1


                                   i-1, j                      k                i+1, j


                                                        h      i, j


                                                               i, j-1
рис.3.3 Шаблон трехслойной схемы


       u i , j + 1 − 2 u i , j + u i , j −1          u i + 1, j − 2 u i , j + u i − 1, j
                                              = a2
                      k2                                              h2
      Отсюда можно найти явное выражение для значения сеточной функции
на j+1 слое.

       u i , j + 1 = 2 (1 − λ )u i , j + λ (u i + 1, j + u i −1, j ) − u i , j −1
      где λ = a2 k2 / h2 ; i = 1,…i-1; j = 1,…,k-1
      здесь , как обычно в трехслойных схемах, для определения значений на
j+1 слое нужно знать решение на j и j-1 слоях. Поэтому начать счет можно
лишь для второго слоя, а решение на нулевом и первом слоях должны быть
известны. Они находятся с помощью начальных условий. На нулевом слое
имеем ui, 0 = u (x, 0) = V (xi).
      Для получения решения на первом слое заменим производную
конечно-разностным соотношением.
       ∂u          u − u i,0
          / t = 0 = i ,1     = W (x i )
       ∂t                k
      Откуда получим
      ui, 1 = ui, 0 + kW (xi)                 i = 0,1,…,I
      Краевые условия: u (0, t) = u0, j = G(tj)                            j = 2,…, J
                                                      25