Математика. Раздел 3. Математическое моделирование в экономике и управлении. Казанцев Э.Ф. - 30 стр.

     ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4
     ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ


     Методы        исследования   поведения   решений   дифференциальных
уравнений, изложенные в предыдущих разделах, можно успешно применять
при исследовании моделей реальных систем, зависящих от времени. В этом
разделе будут описаны некоторые биологические и экономические модели.


      4.1.1. Модель «хищник-жертва»
     В динамике популяций есть много примеров, когда изменение
численности популяций во времени носит колебательный характер. Одним
из самых известных примеров описания динамики взаимодействующих
популяции являются уравнения Лотки-Вольтерра.
      Рассмотрим модель взаимодействия хищников и их жертвы, когда
между особями одного вида нет соперничества. Пусть х1 и х2 – число жертв и
хищников соответственно. Предположим, что относительный прирост жертв
х&1
    = а – bx2, а,b>0, где а –удельная скорость размножения жертв в
х1
отсутствие хищников, -bx2 – потери от хищников. Размножение популяции
хищников зависит от количества пищи (жертв), при отсутствии пищи (х 1 =0)
                                                               х& 2
относительная скорость изменения популяции хищников равна           = - с, с>0,
                                                               х2
                                                        х& 2
наличие пищи компенсирует убывание, и при х1>0 имеем         = -с + dx1, d>0.
                                                        х2
     Таким образом, система уравнений Лотки-Вольтерра имеет вид:
       ⎧ x&1 = (a − bx 2 )x1
       ⎨
       ⎩ x& 2 = (− c + dx1 )x2
     где a, b, c, d>0.



                                      30