Математика. Раздел 3. Математическое моделирование в экономике и управлении. Казанцев Э.Ф. - 37 стр.

       •     влияния внутривидовой конкуренции за пищу при ограниченных
                  x1
ресурсах – rx1       ;
                  K
                                                        x1
       •    влияния хищников — wx2                           в предположении,   что хищник
                                                      D + x1

перестает убивать, когда насыщается.
      Скорость роста популяции хищников x& 2 строится так же, как в модели
Вольтерра — Лотка, в предположении, что жертвы встречаются редко. Если
для поддержания жизни одного хищника нужно J жертв, то популяция из х1
жертв сможет обеспечить пищей — хищников. Модель роста популяции
хищников, в которой их число не может превысить эту критическую
                                               sJ
величину, имеет вид x& 2 = x 2 ( s −              x2 ) .
                                               x1

      Таким образом, имеем модель Холдинга — Тэннера:


      ⎧                x1               x1
      ⎪ x&1 = r (1 −      ) x1 − wx 2
                                      D + x1
      ⎪                k
      ⎨
      ⎪ x& = s (1 −    J
                          x2 ) x2
      ⎪⎩ 2             x1



      где r,s,K,D,J > 0.
Можно показать, что при
        r K −D−2
     s< *
        K     1+ D
      на фазовом портрете системы будет устойчивый предельный цикл.
      В Приложении G приведено решение системы при r= 1, К = 7, w = 1,
D=1, s=0.2, J=0.5 и двух различных начальных состояниях. На фазовом
портрете хорошо виден предельный цикл. Фазовые кривые системы с
начальными состояниями вне и внутри области, ограниченной предельным
циклом, "наматываются" извне или изнутри на одну и ту же замкнутую
кривую.



                                                      37