Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.2. Казанцев Э.Ф. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При мер. Рас смот рим дан ные таб ли цы 4.1 о рас пре де ле нии по рос -
ту взрос лых ра бо чих. Тре бу ет ся най ти за кон рас пре де ле ния дан ной слу -
чай ной ве ли чи ны (рос та).
Ре ше ние. По тео ре ме Ля пу но ва мы впра ве пред по ло жить, что ис -
ко мая ве ли чи на рас пре де ле на по нор маль но му за ко ну. Ос нов ные па ра -
мет ры ва риа ци он но го ря да 4.1 бы ли вы чис ле ны ра нее:
x =165 53, см
,
s
2
36 5751= ,
,
s = 6 048,
.
При ни мая эти ве ли чи ны со от вет ст вен но за ма те ма ти че ское ожи -
да ние, дис пер сию и сред нее квад ра ти че ское от кло не ние ис ко мой слу -
чай ной ве ли чи ны, мы по лу чим вы ра же ния плот но сти ве ро ят но сти и
функ ции распределения искомой случайной величины:
f x
x
н
( )
,
exp
( , )
,
=
×
× -
-
×
é
ë
ê
ù
û
ú
1
6 048 2
165 53
2 36 5751
2
p
F x
x
н
( ) ,
,
,
= + ×
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
0 5
1
2
165 53
6 048
F
3) Кри те рий со гла сия
В рас смот рен ном вы ше при ме ре, из 1000 муж чин 173 долж ны
иметь рост от 161 до 164 см, ме ж ду тем как в дей ст ви тель но сти их ока за -
лось 181.
Объ яс не ния этих рас хо ж де ний мо гут быть такие:
а) Не сов па де ние ме ж ду опыт ны ми и тео ре ти че ски ми дан ны ми
объ яс ня ют ся слу чай но стью от бо ра от дель ных эле мен тов или ре зуль та -
тов еди нич ных на блю де ний, а вы бран ный за кон нор маль но го рас пре де -
ле ния слу чай ной величины соответствует опытным данным.
б) Раз ли чия ме ж ду тео ре ти че ски ми дан ны ми и на блю ден ны ми
объ яс нить слу чай но стью нель зя, зна чит опыт ное и тео ре ти че ское рас -
пре де ле ния противоречат друг другу.
Сде лать пра виль ный вы бор ме ж ду пер вым и вто рым вы во дом,
один из ко то рых ис клю ча ет дру гой, нам по мо жет кри те рий согласия.
Кри те рий со гла сия и яв ля ет ся тем пра ви лом, ко то рое да ет воз -
мож ность, опи ра ясь на ус та нов лен ный за кон рас пре де ле ния, ус та но -
вить, ко гда по лу чен ное в дей ст ви тель но сти ука зан ное от кло не ние сле -
ду ет при знать не су ще ст вен ным, случайным, а когда существенным,
неслучайным.
Пред по ло жим, что из вес тен за кон рас пре де ле ния слу чай ной ве -
ли чи ны Х, ко то рая ха рак те ри зу ет функ цию рас хо ж де ний ме ж ду тео ре -
10
       Пример. Рассмотрим данные таблицы 4.1 о распределении по рос-
ту взрослых рабочих. Требуется найти закон распределения данной слу-
чайной величины (роста).
       Решение. По теореме Ляпунова мы вправе предположить, что ис-
комая величина распределена по нормальному закону. Основные пара-
метры вариационного ряда 4.1 были вычислены ранее: x =165,53 см,
s 2 = 36,5751, s = 6,048.
       Принимая эти величины соответственно за математическое ожи-
дание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение искомой слу-
чайной величины, мы получим выражения плотности вероятности и
функции распределения искомой случайной величины:
                                   1            é ( x -165,53) 2 ù
                 f н ( x) =               × exp ê-               ú
                              6,048 × 2 p       ë 2 × 36,5751 û
                                        1 æ x -165,53 ö
                       F н ( x ) = 0,5 + × Fç         ÷
                                        2 è 6,048 ø

      3) Критерий согласия
      В рассмотренном выше примере, из 1000 мужчин 173 должны
иметь рост от 161 до 164 см, между тем как в действительности их оказа-
лось 181.
      Объяснения этих расхождений могут быть такие:
      а) Несовпадение между опытными и теоретическими данными
объясняются случайностью отбора отдельных элементов или результа-
тов единичных наблюдений, а выбранный закон нормального распреде-
ления случайной величины соответствует опытным данным.
      б) Различия между теоретическими данными и наблюденными
объяснить случайностью нельзя, значит опытное и теоретическое рас-
пределения противоречат друг другу.
      Сделать правильный выбор между первым и вторым выводом,
один из которых исключает другой, нам поможет критерий согласия.
      Критерий согласия и является тем правилом, которое дает воз-
можность, опираясь на установленный закон распределения, устано-
вить, когда полученное в действительности указанное отклонение сле-
дует признать несущественным, случайным, а когда существенным,
неслучайным.
      Предположим, что известен закон распределения случайной ве-
личины Х, которая характеризует функцию расхождений между теоре-
10

Страницы