Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.2. Казанцев Э.Ф. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ти че ским и опыт ным рас пре де ле ния ми. С дру гой сто ро ны, имея опыт -
ное рас пре де ле ние при зна ка и вы чис лен ную на ос но ве его эм пи ри че -
скую функ цию рас пре де ле ния, мы мо жем най ти зна че ние
a
, ко то рое
в рас смат ри вае мом слу чае при ня ла слу чай ная ве ли чи на X.
За кон рас пре де ле ния слу чай ной ве ли чи ны Х оп ре де ля ет ве ро ят -
ность то го, что она при мет ка кое-ни будь зна че ние, не мень ше
a
. Пусть
эта ве ро ят ность рав на
b
:
P X( )³ =a b
Ес ли ве ро ят ность
b
очень ма ла, то это бу дет оз на чать, что на сту -
пи ло ма ло ве ро ят ное со бы тие. Но со глас но прин ци пу прак ти че ской уве -
рен но сти при од но крат ном на блю де нии ма ло ве ро ят ное со бы тие не
долж но бы ло на сту пить, то есть рас хо ж де ние ме ж ду пред по ла гае мым
тео ре ти че ским и опыт ным рас пре де ле ния ми не слу чай но и тео ре ти че -
ский за кон сле ду ет от верг нуть. Этот вы вод ба зи ру ет ся на том, что ес ли
бы в дей ст ви тель но сти изу чае мый при знак был рас пре де лен по пред по -
ло жи тель но му за ко ну, то та ко го зна че ния слу чай ная ве ли чи на Х не
долж на бы ла при нять.
Ес ли же ве ро ят ность
b
ве ли ка (
»1
), то рас хо ж де ние ме ж ду эм пи ри -
че ским и тео ре ти че ским рас пре де ле ния ми сле ду ет при знать не су ще ст -
вен ным, слу чай ным, а по то му долж ны счи тать, что опыт ное и тео ре ти -
че ское распределения согласуются друг с другом.
Обыч но счи та ют ве ро ят но сти, не пре вос хо дя щие 0,01, уже «дос -
та точ но ма лы ми» и при ни ма ют за гра ни цу ма ло ве ро ят ных событий.
Су ще ст ву ет мно го кри те ри ев со гла сия. Рас смот рим наи бо лее рас -
про стра нен ный кри те рий
c
-квад рат (Пирсона).
Кри те рий со гла сия
c
-квад рат:
Пусть в ре зуль та те на блю де ний по лу чен ва риа ци он ный ряд с
опыт ны ми час то та ми, сум ма ко то рых да ет объем совокупности:
n n n n
m
= + + +
1
2
K
Пусть мы вы бра ли не ко то рый тео ре ти че ский за кон рас пре де ле -
ния для рас смат ри вае мо го при зна ка и сум ма тео ре ти че ских час тот так -
же равна объему совокупности:
n n n n
m
= + + +
1
0
2
0 0
K
В ка че ст ве ме ры рас хо ж де ния тео ре ти че ско го и эм пи ри че ско го
ря дов час тот выберем величину:
11
тическим и опытным распределениями. С другой стороны, имея опыт-
ное распределение признака и вычисленную на основе его эмпириче-
скую функцию распределения, мы можем найти значение a , которое
в рассматриваемом случае приняла случайная величина X.
      Закон распределения случайной величины Х определяет вероят-
ность того, что она примет какое-нибудь значение, не меньше a . Пусть
эта вероятность равна b:
                              P( X ³ a ) = b
      Если вероятность b очень мала, то это будет означать, что насту-
пило маловероятное событие. Но согласно принципу практической уве-
ренности при однократном наблюдении маловероятное событие не
должно было наступить, то есть расхождение между предполагаемым
теоретическим и опытным распределениями не случайно и теоретиче-
ский закон следует отвергнуть. Этот вывод базируется на том, что если
бы в действительности изучаемый признак был распределен по предпо-
ложительному закону, то такого значения случайная величина Х не
должна была принять.
      Если же вероятность b велика (»1), то расхождение между эмпири-
ческим и теоретическим распределениями следует признать несущест-
венным, случайным, а потому должны считать, что опытное и теорети-
ческое распределения согласуются друг с другом.
      Обычно считают вероятности, не превосходящие 0,01, уже «дос-
таточно малыми» и принимают за границу маловероятных событий.
      Существует много критериев согласия. Рассмотрим наиболее рас-
пространенный критерий c-квадрат (Пирсона).

     Критерий согласия c-квадрат:
     Пусть в результате наблюдений получен вариационный ряд с
опытными частотами, сумма которых дает объем совокупности:
                          n = n1 + n 2 +K + n m
      Пусть мы выбрали некоторый теоретический закон распределе-
ния для рассматриваемого признака и сумма теоретических частот так-
же равна объему совокупности:
                          n = n10 + n 20 +K + n m0

      В качестве меры расхождения теоретического и эмпирического
рядов частот выберем величину:
                                                                   11

Страницы