Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.2. Казанцев Э.Ф. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Рас смот рим сум му квад ра тов от кло не ний по ор ди на те то чек
A A A
s
1
2
; ;K
от то чек
A A A
s
10
20 0
; ;K
, ле жа щих на пря мой CD. Обо зна чим
эту сум му S:
S n A A n A A n A A
x x x s s
s
= + + +
1
2
1 10
2
2 20
2
0
2
( ) ( ) ( )K
(4.3.22)
Из урав не ния
y ax b= +
по лу ча ем ор ди на ты то чек
A
i 0
:
A A ax b y
1 10 1 1
= + -
A A ax b y
1
20 2 2
= + -
и т.д.
То гда (4.3.22) мож но пред ста вить так:
S n ax b y n ax b y n ax b y
x x x s s
s
= + - + + - + + + -
1
2
1
2
2 2
2 2
( ) ( ) ( )K
(4.3.23)
Та ким об ра зом, хо ро шо вид но, что S — функ ция двух не за ви си -
мых пе ре мен ных a и b. Для ис ко мой пря мой сум ма S ми ни маль на. Не -
об хо ди мым ус ло ви ем экс тре му ма функ ции яв ля ет ся об ра ще ние в нуль
ее ча ст ных про из вод ных пер во го по ряд ка по всем пе ре мен ным:
= + - + + - + + + -
S
b
n ax b y n ax b y n ax b y
x x x s s
s
1
2
2 2 2
1 1
2 2
( ) ( ) (K )
( ) ( ) (
=
= + - + + - + +
0
2 2 2
1
2
1 1 1
2 2 2
S
a
n ax b y x n ax b y x n a
x x x
s
K x b y x
s s s
+ - =) 0
Со кра щая на 2 и груп пи руя чле ны с a и b, по лу чим:
( ) ( )n x n x n x a n n n b
n y n
x x x s x x x
x x
s s
1
2
1
2
1
2
1
2
1
+ + + + + + + =
= +
K K
y n y
x s
s
2
+ +K
( ) ( )n x n x n x a n x n x n x b
x x x s x x x s
s s
1
2
1
2
1
2
2
2 2
1
2
+ + + + + + + =
=
K K
n x y n x y n x y
x x x s s
s
1
2
1 1
2 2
+ + +K
или
a
x n
n
b
n
n
y n
n
a
x n
n
b
i x
i
s
x
i
s
x
i
s
i x
i
s
i i i
i
= = =
=
å å å
å
+ =
+
1 1
1
1
2
1
x n
n
x y n
n
i i
i
s
i i x
i
s
i
= =
å å
=
1 1
(4.3.24)
20
         Рассмотрим сумму квадратов отклонений по ординате точек
A1 ; A2 ;K As от точек A10 ; A20 ;K As 0 , лежащих на прямой CD. Обозначим
эту сумму S:
       S = n x 1 ( A1 A10 ) 2 + n x 2 ( A2 A20 ) 2 +K+n x s ( As As 0 ) 2                              (4.3.22)

       Из уравнения y = ax + b получаем ординаты точек Ai 0 :
       A1 A10 = ax 1 + b - y 1
       A1 A20 = ax 2 + b - y 2 и т.д.
       Тогда (4.3.22) можно представить так:
       S = n x 1 (ax 1 + b - y ) 2 + n x 2 (ax 2 + b - y 22 )+K+n x s (ax s + b - y s2 ) (4.3.23)

      Таким образом, хорошо видно, что S — функция двух независи-
мых переменных a и b. Для искомой прямой сумма S минимальна. Не-
обходимым условием экстремума функции является обращение в нуль
ее частных производных первого порядка по всем переменным:
¶S
   = n x 1 2(ax 1 + b - y 1 ) + n x 2 2(ax 2 + b - y 2 )+K+n x s 2(ax s + b - y s ) = 0
¶b
¶S
   = n x 1 2(ax 1 + b - y 1 ) x 1 + n x 2 2(ax 2 + b - y 2 ) x 2 +K+n x s 2(ax s + b - y s ) x s = 0
¶a
       Сокращая на 2 и группируя члены с a и b, получим:
                        (n x 1 x 1 + n x 2 x 2 +K+n x s x s )a + (n x 1 + n x 2 +K+n x s )b =
                        = n x 1 y 1 + n x 2 y 2 +K+n x s y s

                (n x 1 x 12 + n x 2 x 22 +K+n x s x s2 )a + (n x 1 x 1 + n x 2 x 2 +K+n x s x s )b =
                = n x 1 x 1 y 1 + n x 2 x 2 y 2 +K+n x s x s y s

или

            s                       s                    s
           åx
           i =1
                    i   nxi        ån
                                   i =1
                                              xi        åy
                                                        i =1
                                                                   1
                                                                       nxi
       a                      +b                    =
                   n                      n                        n                                   (4.3.24)
            s                       s                          s
                    2
           åx
           i =1
                    i   nxi        åx         i    ni        åx         i   y i nxi
       a                      + b i =1                  =    i =1

                   n                      n                             n
20

Страницы