Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.2. Казанцев Э.Ф. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ис поль зуя ра вен ст ва (4.3.16)–(4.3.20) и свой ст во сред не го:
y n
n
y
i x
i
s
i
=
å
=
1
Из пер во го урав не ния (4.3.24) по лу чим:
ax b y+ =
от ку да:
b y ax= -
(4.3.25)
Под ста вим по лу чен ное зна че ние b в (4.3.15):
y y a x x- = -( )
По лу чен ное урав не ние по ка зы ва ет, что пря мая CD про хо дит че -
рез точ ку с ко ор ди на та ми
( ; )x y
— то есть это сред няя точ ка кор ре ля ци -
он но го гра фи ка. Ос та лось най ти ко эф фи ци ент а.
Ко эф фи ци ент а на зы ва ет ся ко эф фи ци ен том рег рес сии у на х и
обо зна ча ет ся
r
y x
.
Из вто ро го урав не ния (4.3.24) най дем а: для это го за ме ним b на
(4.3.25), а ко эф фи ци ент при нем — на
x
:
r r
y x
i x
i
s
y x x i i
x n
n
y x x
n
n x y
i
i
2
1
1
=
å
å
+ - =( )
(4.3.27)
В пра вой час ти (4.3.27) за ме ним
y
i
на (4.3.18):
1 1
1
1
1 1
n
x n
y n
n n
x y n
x y
i
i
s
x
i ij
j
t
x
i
i
s
j
j
t
ij
i j
i
i
=
=
= =
å
å
å å
= =
n
n
xy
ij
j
t
i
s
==
åå
=
11
(4.3.28)
и урав не ние (4.3.27) при об ре та ет вид:
r
y x
x x xy x y( )
2 2
- = - ×
(4.3.29)
Но
( )x x
x
2 2 2
- = s
, (4.3.30)
по это му
r
s
y x
x
xy x y
=
- ×
2
(4.3.31)
21
      Используя равенства (4.3.16)–(4.3.20) и свойство среднего:
       s
      åy
      i =1
                 i   nxi
                              =y
             n
      Из первого уравнения (4.3.24) получим:
     ax + b = y
откуда:
      b = y - ax                                                                                                 (4.3.25)
      Подставим полученное значение b в (4.3.15):
      y - y = a( x - x )
       Полученное уравнение показывает, что прямая CD проходит че-
рез точку с координатами ( x ; y ) — то есть это средняя точка корреляци-
онного графика. Осталось найти коэффициент а.
       Коэффициент а называется коэффициентом регрессии у на х и
обозначается r y x .
       Из второго уравнения (4.3.24) найдем а: для этого заменим b на
(4.3.25), а коэффициент при нем — на x:
                      s
                              2
                 åx  i =1
                              i   nxi
                                                                 1
     ry      x
                             n
                                          + (y - r y x x ) x =
                                                                 n
                                                                   å nxi x i y i                                 (4.3.27)

      В правой части (4.3.27) заменим y i на (4.3.18):
                                    t                                       s      t


      1 s
                                  åy
                                   j =1
                                           i n ij
                                                     1 s      t
                                                                           åå x
                                                                           i =1 j =1
                                                                                           i   y j n ij
        å x i nxi
      n i =1                            nxi
                                                    = å x i å y j n ij =
                                                     n i =1 j =1                       n
                                                                                                          = xy   (4.3.28)

и уравнение (4.3.27) приобретает вид:
     r y x ( x 2 - x 2 ) = xy - x × y                                                                            (4.3.29)

      Но ( x 2 - x 2 ) = s 2x ,                                                                                  (4.3.30)
поэтому
                            xy - x × y
     ry      x   =                                                                                               (4.3.31)
                               s 2x

                                                                                                                      21

Страницы