Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.2. Казанцев Э.Ф. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Прак ти ка по ка зы ва ет, ес ли объ ем вы бор ки боль шой (не ме нее
30–40), то вы бо роч ная и ге не раль ная дис пер сии прак ти че ски сов па да -
ют и вме сто не из вест ной ге не раль ной дис пер сии мож но ис поль зо вать
вы бо роч ную дис пер сию.
Ес ли же объ ем вы бор ки не боль шой (мень ше 30–40), то вме сто ге -
не раль ной дис пер сии мож но поль зо вать ся ис прав лен ной фор му лой:
( )
s
1
2
2
1
1
=
-
-
=
å
x x
n
i
i
n
. (4.3.5)
Оп ре де ле ние 5. Ве ро ят ность, с ко то рой га ран ти ру ют ся ре зуль та ты
вы бор ки, на зы ва ет ся до ве ри тель ной ве ро ят но стью b.
Оп ре де ле ние 6. Наи боль шее от кло не ние вы бо роч ной сред ней от
ге не раль ной, ко то рое мо жет иметь ме сто с за дан ной до ве ри тель ной ве -
ро ят но стью не вы хо да за эти гра ни цы, на зы ва ет ся пре дель ной ошиб кой
вы бор ки D.
Оп ре де ле ние 7. Ве ро ят ность то го, что от кло не ние слу чай ной ве -
ли чи ны х, рас пре де лен ной по нор маль но му за ко ну, от ее ма те ма ти че -
ско го ожи да ния Е не пре взой дет по аб со лют ной ве ли чи не D, рав на:
( )
P x E- £ =
æ
è
ç
ö
ø
÷
D F
D
s
, (4.3.6)
где че рез
s
обо зна че на сред няя квад ра ти че ская ошиб ка вы бор ки, а
функ ция
F( )x
на зы ва ет ся ин те гра лом ве ро ят но сти:
F( ) expx
t
dt
x
= -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
ò
2
2 2
2
0
p
. (4.3.7)
Дан ная функ ция не чет на и при
x ® ¥
очень бы ст ро при бли жа ет -
ся к сво ему пре де лу, ко то рый ра вен 1. По это му уже при х = 5 она прак -
ти че ски не от ли ча ет ся от 1: Ф(5) =0,99999994. Ин те грал ве ро ят но сти та -
бу ли ро ван и лю бые его зна че ния мож но най ти в таб ли цах.
Оп ре де ле ние 8. Пре дель ная ошиб ка вы бор ки рав на t-крат ной ве -
ли чи не сред ней квад ра ти че ской ошиб ки, при чем t есть то зна че ние ар -
гу мен та, при ко то ром функ ция Ф(х) рав на за дан ной до ве ри тель ной ве -
ро ят но сти
b
:
7
     Практика показывает, если объем выборки большой (не менее
30–40), то выборочная и генеральная дисперсии практически совпада-
ют и вместо неизвестной генеральной дисперсии можно использовать
выборочную дисперсию.
     Если же объем выборки небольшой (меньше 30–40), то вместо ге-
неральной дисперсии можно пользоваться исправленной формулой:
               n
                                  2
              å( x     i   - x)
     s 12 =   i =1
                                      .                        (4.3.5)
                      n -1

     Определение 5. Вероятность, с которой гарантируются результаты
выборки, называется доверительной вероятностью b.

     Определение 6. Наибольшее отклонение выборочной средней от
генеральной, которое может иметь место с заданной доверительной ве-
роятностью невыхода за эти границы, называется предельной ошибкой
выборки D.

      Определение 7. Вероятность того, что отклонение случайной ве-
личины х, распределенной по нормальному закону, от ее математиче-
ского ожидания Е не превзойдет по абсолютной величине D, равна:
                        æDö
     P ( x - E £ D ) = Fç ÷,                                   (4.3.6)
                        ès ø
где через s обозначена средняя квадратическая ошибка выборки, а
функция F( x ) называется интегралом вероятности:
                        x
                    2        æ t2         ö
     F( x ) =             expç-           ÷dt .                (4.3.7)
                   2 p ò0    ç 2
                             è
                                          ÷
                                          ø
      Данная функция нечетна и при x ® ¥ очень быстро приближает-
ся к своему пределу, который равен 1. Поэтому уже при х = 5 она прак-
тически не отличается от 1: Ф(5) =0,99999994. Интеграл вероятности та-
булирован и любые его значения можно найти в таблицах.

     Определение 8. Предельная ошибка выборки равна t-кратной ве-
личине средней квадратической ошибки, причем t есть то значение ар-
гумента, при котором функция Ф(х) равна заданной доверительной ве-
роятности b:

                                                                    7

Страницы