Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Дей ст ви тель но:
kx
kx n
m
k x n
m
k
x n
m
k x
i i
i
m
i i
i
m
i i
i
m
=
×
= = ×
×
= ×
= = =
å å å
1 1 1
(4.2)
Ана ло гич но до ка зы ва ет ся, что умень ше ние ва ри ан тов в k раз при -
во дит к умень ше нию сред ней ариф ме ти че ской так же в k раз.
Тео ре ма 2. Ес ли все ва ри ан ты умень шить (уве ли чить) на од но и то
же чис ло, то сред няя ариф ме ти че ская умень шит ся (уве ли чит ся) на то
же чис ло.
Дей ст ви тель но :
x c
x c n
m
x n c n
m
x n
i i
i
m
i i
i
m
i
i
m
i i
i
- =
- ×
=
× - ×
=
×
= = = =
å å å
( )
1 1 1 1
m
i
i
m
m
c
n
m
x c
å å
- × = -
= 1
(4.3)
Ана ло гич но до ка зы ва ет ся , что уве ли че ние ва ри ан тов на од но и то
же чис ло при во дит к уве ли че нию сред ней на то же чис ло.
Тео ре ма 3. Сум ма про из ве де ний от кло не ний ва ри ан тов от их
сред ней ариф ме ти че ской на со от вет ст вую щие им ве са рав на ну лю.
Дей ст ви тель но, ис поль зуя пре ды ду щую тео ре му, по ла гая
c x=
,
по лу чим:
( )x x
m
x x
i
i
m
-
= - =
=
å
1
0
.
От ку да сле ду ет:
( )x x n
i i
i
m
- × =
=
å
1
0
(4.4)
Тео ре ма 4. При уве ли че нии и умень ше нии ве сов в од но и то же
чис ло раз сред няя ариф ме ти че ская не из ме ня ет ся.
Дей ст ви тель но :
x kn
kn
k x n
km
x n
m
x
i i
i
m
i
i
m
i i
i
m
i i
i
m
×
= = =
=
=
= =
å
å
å å
1
1
1 1
(4.5)
11
     Действительно:
                         m                            m                                  m
                     å kx
                     i =1
                                  i   × ni          k å x i ni
                                                     i =1
                                                                                         åx   i   × ni
     kx =                                      =                              = k × i =1                     = k× x                      (4.2)
                                 m                        m                                  m
      Аналогично доказывается, что уменьшение вариантов в k раз при-
водит к уменьшению средней арифметической также в k раз.

     Теорема 2. Если все варианты уменьшить (увеличить) на одно и то
же число, то средняя арифметическая уменьшится (увеличится) на то
же число.
     Действительно :
                          m                            m                            m             m                      m
                         å( x     i   - c) × ni       åx         i   × ni - å c × ni              åx     i   × ni       ån   i
     x - c = i =1                                   = i =1                      i =1
                                                                                             = i =1                 - c × i =1 = x - c   (4.3)
                                      m                                   m                              m                   m
     Аналогично доказывается , что увеличение вариантов на одно и то
же число приводит к увеличению средней на то же число.

     Теорема 3. Сумма произведений отклонений вариантов от их
средней арифметической на соответствующие им веса равна нулю.
     Действительно, используя предыдущую теорему, полагая c = x ,
получим:
                                                             m
                                                            å( x
                                                            i =1
                                                                          i   - x)
                                                                                         = x - x = 0.
                                                                      m
     Откуда следует:
      m
     å( x
     i =1
                     i    - x)× ni = 0                                                                                                   (4.4)


     Теорема 4. При увеличении и уменьшении весов в одно и то же
число раз средняя арифметическая не изменяется.
     Действительно :
      m                                      m                        m
     åx
     i =1
                 i       × kn i           k å x i ni
                                             i =1
                                                                     åx
                                                                     i =1
                                                                                i   ni
            m
                                      =                      =                           =x                                              (4.5)
                                               km                             m
          å kn
          i =1
                             i



                                                                                                                                           11

Страницы