Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Вве дем по ня тие груп по вой сред ней. Пред по ло жим, что не ко то рая
со во куп ность раз би та на груп пы. Груп пы бу дем на зы вать не пе ре се каю -
щи ми ся, ес ли ка ж дый ва ри ант при над ле жит толь ко од ной груп пе.
Оп ре де ле ние 3. Груп по вой сред ней на зы ва ет ся сред няя ариф ме ти -
че ская ва ри ан тов, со став ляю щих часть дан ной со во куп но сти. То гда
сред нюю ариф ме ти че скую то го же при зна ка во всей со во куп но сти на -
зы ва ют об щей сред ней.
Тео ре ма 5. Ес ли со во куп ность раз би та на не пе ре се каю щие ся
груп пы, то об щая сред няя рав на сред ней ариф ме ти че ской груп по вых
сред них, ко гда ве са ми яв ля ют ся объ е мы групп.
x
x N x N x N
N N N
xN
l
l l
l
i
i
l
=
+ + +
+ + +
=
=
å
1 1
2 2
1
2
1
K
K
(4.6)
Тео ре ма 6. Ес ли ка ж дое зна че ние при зна ка z пред став ля ет сум му
(раз ность) зна че ний при зна ков x и y , то сред няя ариф ме ти че ская при -
зна ка z рав на сум ме (раз но сти) сред них ариф ме ти че ских x и y :
z x y= +
2) Ме диа на
Оп ре де ле ние 4. Ме диа ной (Me) на зы ва ет ся ва ри ант, при хо дя -
щий ся на се ре ди ну ва риа ци он но го ря да.
Ины ми сло ва ми, ме диа ной яв ля ет ся ва ри ант, ко то рый де лит со -
во куп ность на две рав ные по объ е му час ти. До ме диа ны и по сле нее име -
ет ся оди на ко вое чис ло чле нов со во куп но сти. При на хо ж де нии ме диа ны
ва риа ци он но го ря да сле ду ет раз ли чать два слу чая : а) объ ем со во куп но -
сти нечетный; б) объем совокупности четный.
а) пусть объ ем со во куп но сти не чет ный и ра вен 2m – 1. Рас по ло -
жим все ва ри ан ты
x x x x x x
m
m
m m1
2
1 1 2 1
, ,..., , , ,...,
- + -
в воз рас таю щем по -
ряд ке. В этом ря ду ка ж дый ва ри ант по вто рен столь ко раз, сколь ко он
встре ча ет ся в со во куп но сти. По это му сре ди них мо гут быть и оди на ко -
вые. Ме диа ной это го рас пре де ле ния яв ля ет ся ва ри ант с но ме ром m,
так как он на хо дит ся в се ре ди не ря да: Ме =
x
m
.
б) ес ли объ ем со во куп но сти чет ный и ра вен 2m, то в ря ду
x x x x x x
m
m
m
m
1
2
1 1
2
, ,..., , , ,...,
- +
нет ва ри ан та, ко то рый де лил бы сово -
купность на две рав ные по объ е му груп пы. По это му за ме диа ну ус -
12
     Введем понятие групповой средней. Предположим, что некоторая
совокупность разбита на группы. Группы будем называть непересекаю-
щимися, если каждый вариант принадлежит только одной группе.

     Определение 3. Групповой средней называется средняя арифмети-
ческая вариантов, составляющих часть данной совокупности. Тогда
среднюю арифметическую того же признака во всей совокупности на-
зывают общей средней.

     Теорема 5. Если совокупность разбита на непересекающиеся
группы, то общая средняя равна средней арифметической групповых
средних, когда весами являются объемы групп.
                                                 l

            x 1 N 1 + x 2 N 2 +K+ x l N l       å xN
                                                i =1
                                                           i
       x=                                   =                                          (4.6)
                 N 1 + N 2 +K+N l                      l

      Теорема 6. Если каждое значение признака z представляет сумму
(разность) значений признаков x и y , то средняя арифметическая при-
знака z равна сумме (разности) средних арифметических x и y :
                                            z = x +y
       2) Медиана
           Определение 4. Медианой (Me) называется вариант, приходя-
щийся на середину вариационного ряда.
           Иными словами, медианой является вариант, который делит со-
вокупность на две равные по объему части. До медианы и после нее име-
ется одинаковое число членов совокупности. При нахождении медианы
вариационного ряда следует различать два случая : а) объем совокупно-
сти нечетный; б) объем совокупности четный.
           а) пусть объем совокупности нечетный и равен 2m – 1. Располо-
жим все варианты x 1 , x 2 , ..., x m -1 , x m , x m + 1 , ..., x 2 m -1 в возрастающем по-
рядке. В этом ряду каждый вариант повторен столько раз, сколько он
встречается в совокупности. Поэтому среди них могут быть и одинако-
вые. Медианой этого распределения является вариант с номером m,
так как он находится в середине ряда: Ме = x m .
           б) если объем совокупности четный и равен 2m, то в ряду
x 1 , x 2 ,..., x m -1 , x m , x m + 1 ,..., x 2 m нет ва ри ан та, ко то рый де лил бы сово-
купность на две равные по объе му группы. Поэтому за медиа ну ус-
12

Страницы