Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

d
x x n
m
i i
i
m
=
- ×
=
å
1
(4.7)
Од на ко на прак ти ке и в тео ре ти че ских ис сле до ва ни ях сред нее ли -
ней ное от кло не ние при ме ня ет ся срав ни тель но ред ко, так как оно не
име ет та ких свойств, ка кие же ла тель но бы ло иметь. По это му обыч но
рас сея ние при зна ка ха рак те ри зу ют дис пер си ей и не по сред ст вен но по лу -
чае мым из нее сред ним квад ра ти че ским от кло не ни ем.
Оп ре де ле ние 6. Дис пер си ей ва риа ци он но го ря да на зы ва ет ся сред -
няя ариф ме ти че ская квад ра тов от кло не ний ва ри ан тов от их сред ней:
s
2
2
1
=
- ×
=
å
( )x x n
m
i i
i
m
(4.8)
Для ха рак те ри сти ки рас сея ния час то бы ва ет удоб нее иметь ве ли -
чи ну, ко то рая вы ра жа ет ся в тех же еди ни цах, что и зна че ния при зна ка.
Ее мы по лу чим, вы чис лив ко рень квад рат ный из дис пер сии.
Оп ре де ле ние 7. Ариф ме ти че ское зна че ние кор ня квад рат но го из
дис пер сии на зы ва ет ся сред ним квад ра ти че ским от кло не ни ем:
s =
- ×
=
å
( )x x n
m
i i
i
m
2
1
(4.9)
2) Свой ст ва дис пер сий
Тео ре ма 7. Ес ли все ва ри ан ты уве ли чить (умень шить) в од но и
то же чис ло k раз, то дис пер сия уве ли чит ся (умень шит ся) в
k
2
раз.
Дей ст ви тель но:
( ) ( ) ( )kx kx n
m
k x x n
m
k
x x n
i i
i
m
i i
i
m
i i
- ×
=
- ×
=
- ×
= =
å å
2
1
2 2
1
2
2
i
m
m
k
=
å
=
1
2 2
s
(4.10)
Тео ре ма 8. Уве ли че ние или умень ше ние ва ри ан тов на од ну и ту же
по сто ян ную ве ли чи ну не из ме ня ет дис пер сии.
15
            m
            åx
            i =1
                        i   - x × ni
     d=                                                                                                               (4.7)
                            m
      Однако на практике и в теоретических исследованиях среднее ли-
нейное отклонение применяется сравнительно редко, так как оно не
имеет таких свойств, какие желательно было иметь. Поэтому обычно
рассеяние признака характеризуют дисперсией и непосредственно полу-
чаемым из нее средним квадратическим отклонением.

      Определение 6. Дисперсией вариационного ряда называется сред-
няя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней:
                   m
                å( x        i    - x)2 × ni
       2        i =1
     s =                                                                                                              (4.8)
                                 m

      Для характеристики рассеяния часто бывает удобнее иметь вели-
чину, которая выражается в тех же единицах, что и значения признака.
Ее мы получим, вычислив корень квадратный из дисперсии.

     Определение 7. Арифметическое значение корня квадратного из
дисперсии называется средним квадратическим отклонением:
                    m
                å( x         i   - x)2 × ni
                i =1
     s=                                                                                                               (4.9)
                                 m

     2) Свойства дисперсий

      Теорема 7. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и
то же число k раз, то дисперсия увеличится (уменьшится) в k 2 раз.
      Действительно:
      m                                     m                                      m

     å (kx      i      - kx ) 2 × ni       åk     2
                                                      ( x i - x ) 2 × ni          å( x   i   - x ) 2 × ni
                                                                                2 i =1
     i =1
                                       =   i =1
                                                                           =k                               = k 2 s 2 (4.10)
                        m                                m                                   m

     Теорема 8. Увеличение или уменьшение вариантов на одну и ту же
постоянную величину не изменяет дисперсии.
                                                                                                                         15

Страницы