Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

( )( )
( )
( )
( )( )
x c x c n
m
x c
x c n
m
x c x c
i i
i
m
i i
i
m
- -
= -
-
= - -
= =
å å
1 1
= -( )x c
2
.
В ре зуль та те мы по лу чим:
s
2
2
1
2 2
2
1
2=
-
- - + - =
-
-
= =
å å
( )
( ) ( )
( )x c n
m
x c x c
x c n
m
i i
i
m
i i
i
m
( )x c-
2
что и тре бо ва лось до ка зать.
Тео ре ма 11. Дис пер сия рав на сред ней ариф ме ти че ской квад ра тов
ва ри ан тов без квад ра та их сред ней ариф ме ти че ской:
s
2
2
1
2
= -
=
å
x n
m
x
i i
i
m
( )
(4.14)
Дан ное вы ра же ние мы по лу чим, по ла гая в пре ды ду щей фор му ле
с = 0.
Поль зу ясь свой ст ва ми дис пер сии, мож но вы чис ле ние дис пер сии
уп ро стить с по мо щью сле дую щей формулы:
s
2
2
1
2 2
=
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
×
× - -
=
å
x c
k
n
m
k x c
i
i
i
m
( )
(4.15)
где с и k —про из воль ные, спе ци аль но по доб ран ные по сто ян ные.
При мер 4.3. Вы чис лить дис пер сию рас пре де ле ния по рос ту взрос -
лых муж чин (см. Табл. 4.2).
Ре ше ние: при мем с = 165,5 — это се ре ди на ин тер ва ла, ко то ро му
со от вет ст ву ет наи боль шая час то та, и од но вре мен но это при бли жен ное
зна че ние сред ней ариф ме ти че ской. В ка че ст ве k возь мем ве ли чи ну ин -
тер ва лов (они все оди на ко вые), то есть 3. Результаты вычислений
расположим в таблице:
17
         m                                                    m
         å( x    i    - c)( x - c)n i                         å( x   i   - c)n i
         i =1
                                                 = ( x - c)   i =1
                                                                                   = ( x - c)( x - c) = ( x - c) 2 .
                            m                                        m

         В результате мы получим:
                     m                                                               m
                 å( x           i   - c) 2 n i                                       å( x   i   - c) 2 n i
         s2 =        i =1
                                                 - 2( x - c ) 2 + ( x - c ) 2 =      i =1
                                                                                                             - ( x - c) 2
                                    m                                                           m

что и требовалось доказать.

     Теорема 11. Дисперсия равна средней арифметической квадратов
вариантов без квадрата их средней арифметической:
                      m
                            2

             2
                     åx     i       ni
         s =         i =1
                                         - (x)2                                                                             (4.14)
                            m

         Данное выражение мы получим, полагая в предыдущей формуле
с = 0.
     Пользуясь свойствами дисперсии, можно вычисление дисперсии
упростить с помощью следующей формулы:
                                            2
                  æ xi -c
                      m
                                           ö
             å    çç
                      k
                                           ÷÷ × n i
         s2 = è                             ø
             i =1
                                                    × k 2 - ( x - c) 2                                                      (4.15)
                       m

где с и k —произвольные, специально подобранные постоянные.


      Пример 4.3. Вычислить дисперсию распределения по росту взрос-
лых мужчин (см. Табл. 4.2).
      Решение: примем с = 165,5 — это середина интервала, которому
соответствует наибольшая частота, и одновременно это приближенное
значение средней арифметической. В качестве k возьмем величину ин-
тервалов (они все одинаковые), то есть 3. Результаты вычислений
расположим в таблице:

                                                                                                                               17

Страницы