Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Дей ст ви тель но:
( ) ( ) ( )
( ) ( )x c x c n
m
x c x c n
m
x x n
i i
i
m
i i
i
m
i i
+ - + ×
=
+ - - ×
=
- ×
= =
å å
2
1
2
1
2
i
m
m
=
å
1
(4.11)
Тео ре ма 9. При уве ли че нии и умень ше нии ве сов в од но и то же
чис ло раз дис пер сия не из ме ня ет ся.
Дей ст ви тель но :
( ) ( ) ( )
x x kn
kn
k x x n
k n
x x
i i
i
m
i
i
m
i i
i
m
i
i
m
i
- ×
=
- ×
=
-
=
=
=
=
å
å
å
å
2
1
1
2
1
1
2
1
×
=
å
n
m
i
i
m
(4.12)
Тео ре ма 10. Дис пер сия от но си тель но сред ней ариф ме ти че ской
рав на дис пер сии от но си тель но про из воль ной по сто ян ной без квад ра та
раз но сти ме ж ду сред ней ариф ме ти че ской и этой по сто ян ной:
s
2
2
1
2
=
- ×
- -
=
å
( )
( )
x c n
m
x c
i i
i
m
(4.13)
Дей ст ви тель но, так как
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x x x c c x x c x c
x c x c
i i i
i i
- = - + - = - - - =
= - - -
2 2
2
2
2 ( ) ( ) ,x c x c- + -
2
то дис пер сию от но си тель но сред ней ариф ме ти че ской мож но пред ста -
вить так:
s
2
2
1
2
1
2
=
- ×
=
- × - - - ×
= =
å å
( ) ( ) ( )( )x x n
m
x c n x c x c n
i i
i
m
i i
i
m
i i i
i
m
i
m
x c n
m
+ - ×
==
åå
( )
2
11
За знак сум мы мож но вы не сти по сто ян ный мно жи тель
x c-
, по -
это му
( ) ( )
( )
( )
x c n
m
x c n
m
x c
m
m x c
i
i
m
i
i
m
- ×
=
-
=
-
× = -
= =
å å
2
1
2
1
2
2
16
        Действительно:
         m                                                 m                                                   m
                                            2                                                   2                           2
        å(( x   i   + c) - ( x + c)) × ni                 å( x        i   + c - x - c) × ni                å( x    i   - x ) × ni
        i =1
                                                      = i =1                                           = i =1                          (4.11)
                            m                                                    m                                     m

     Теорема 9. При увеличении и уменьшении весов в одно и то же
число раз дисперсия не изменяется.
     Действительно :
         m                                            m                                         m
                                2                                                2                                     2
        å( x
        i =1
                i   - x ) × kn i                k å( x i - x ) × n i
                                                   i =1
                                                                                                å( x
                                                                                                i =1
                                                                                                           i   - x ) × ni
                    m
                                          =                    m
                                                                                            =                                          (4.12)
                                                                                                               m
               å kn
                i =1
                            i                              k å ni
                                                               i =1


     Теорема 10. Дисперсия относительно средней арифметической
равна дисперсии относительно произвольной постоянной без квадрата
разности между средней арифметической и этой постоянной:
                    m
                å( x        i   - c) 2 × n i
        s2 =    i =1
                                                  - ( x - c) 2                                                                         (4.13)
                                m
        Действительно, так как
                                                                                                                            2
                        ( x i - x ) 2 = ( x i - c + c - x ) 2 = ( ( x i - c) - ( x - c)) =
                                          = ( x i - c ) 2 - 2( x i - c )( x - c ) + ( x - c ) 2 ,

то дисперсию относительно средней арифметической можно предста-
вить так:
         m                                 m                                         m                                          m
        å( x   i    - x)2 × ni            å( x        i   - c) 2 × n i - 2 å( x i - c)( x - c) × n i + å( x - c) 2 × n i
 s2 =   i =1
                                      =    i =1                                      i =1                                       i =1

                    m                                                                                  m

        За знак суммы можно вынести постоянный множитель x - c, по-
этому
                        m                                                 m
                                      2
                    å( x - c ) × n          i         ( x - c) 2 å n i
                                                                                            ( x - c) 2
                    i =1
                                                  =                       i =1
                                                                                      =                × m = ( x - c) 2
                                m                                m                              m
16

Страницы