Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2. Простейшие математические модели.
2.1 Модель экспоненциального роста
В качестве объекта исследования рассмотрим биологические системы.
Рассмотрим популяцию особей (клетки, люди, животные, растения).
Предположим, что за каждое поколение количество особей удваивается,
(2.1)
n
NN 2
0
=
где
τ
/
t
n =
, t – текущее время,
τ
- время удвоения числа особей, -
исходное количество особей.
0
N
Сперва прологарифмируем данное выражение:
τ
/
0
2lnlnln
t
NN +=
а затем пропотенцируем его:
2ln
ln
2lnln
ln
0
0
ττ
t
N
t
N
N
eeee ⋅==
+
τ
=
/2ln
eN
0
.
и введем параметр
ε:
τ
ε
2ln
=
. Окончательно получим:
t
eNN
ε
0
= (2.2)
Это так называемый закон экспоненциального роста, или закон Мальтуса.
Под N можно понимать число особей, их биомассу m, размеры объекта R.
В дифференциальной форме закон Мальтуса записывается так:
N
d
t
dN
ε
=
, (2.3)
что отражает наблюдаемую зависимость скорости роста от количества
особей. Проинтегрируем уравнение (2.3):
∫∫
= ;dt
N
dN
ε
37
        2. Простейшие математические модели.

               2.1 Модель экспоненциального роста

     В качестве объекта исследования рассмотрим биологические системы.

Рассмотрим популяцию особей (клетки, люди, животные, растения).

Предположим, что за каждое поколение количество особей удваивается,

                                    N = N 0 2n                                                             (2.1)

где n = t / τ , t – текущее время, τ - время удвоения числа особей, N 0 -

исходное количество особей.

      Сперва прологарифмируем данное выражение: ln N = ln N 0 + ln 2 t / τ

                                                      t                          t
                                              ln N 0 + ln 2                          ln 2
                                         =e                   =e            ⋅e              = N 0 eln 2 / τ .
                                  ln N               τ             ln N 0        τ
а затем пропотенцируем его: e

                            ln 2
и введем параметр ε:   ε=           . Окончательно получим:
                              τ

                   N = N 0 eεt                                                                             (2.2)

Это так называемый закон экспоненциального роста, или закон Мальтуса.

Под N можно понимать число особей, их биомассу m, размеры объекта R.

В дифференциальной форме закон Мальтуса записывается так:

                                  dN
                                     = εN ,                                                                (2.3)
                                  dt

что отражает наблюдаемую зависимость скорости роста от количества

особей. Проинтегрируем уравнение (2.3):

                                  dN
                             ∫       = εdt ;
                                   N ∫

                                                                                                                   37

Страницы