Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3. Физический подход к моделированию
3.1 Принцип наименьшего действия [24]
Математический анализ, созданный Ньютоном и Лейбницем в XVIII
веке, позволяет находить экстремум функций только одной, максимум двух
переменных. Однако реальные системы, как правило, содержат большее
число переменных. Поэтому остро стояла проблема - получить общие
методы вычисления экстремума для задач с большим числом степеней
свободы. Эта проблема была решена независимо физиком Лагранжем и
математиком Эйлером. Введём обозначения:
d
t
dy
y
dx
dy
y
x
==
&
,
Физическую систему полностью определяет задание функции координат
и скоростей , которая называется функцией Лагранжа (лагранжиан).
Интеграл от функции Лагранжа называется действием:
Lxyy(,
&
,
&
)
(3.1)
∫
=
2
1
),,(
x
x
dxyyxLS
&
где, и - начальное и конечное состояния системы.
1
x
2
x
Многовековой опыт развития физики позволил Гамильтону сформулировать
принцип наименьшего действия, играющий фундаментальную роль в
современной физике: «между двумя состояниями и система движется
x
1
x
2
56
        3. Физический подход к моделированию

              3.1 Принцип наименьшего действия [24]

    Математический анализ, созданный Ньютоном и Лейбницем в XVIII

веке, позволяет находить экстремум функций только одной, максимум двух

переменных. Однако реальные системы, как правило, содержат большее

число переменных. Поэтому остро стояла проблема -                 получить общие

методы вычисления экстремума для задач с большим числом степеней

свободы. Эта проблема была решена независимо физиком Лагранжем и

                                                       dy        dy
математиком Эйлером. Введём обозначения: y x =            , y& =
                                                       dx        dt

    Физическую систему полностью определяет задание функции координат

и скоростей L ( x, y&, y& ) , которая называется функцией Лагранжа (лагранжиан).

Интеграл от функции Лагранжа называется действием:
                                   x2

                               S = ∫ L( x, y, y& )dx                      (3.1)
                                    x1



где, x1 и x2 - начальное и конечное состояния системы.

Многовековой опыт развития физики позволил Гамильтону сформулировать

принцип наименьшего действия, играющий фундаментальную роль в

современной физике: «между двумя состояниями x 1 и x 2 система движется

                                                                                  56

Страницы