Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

с другой стороны:
()
dx
dy
yy
dx
d
dx
dy
dx
dy
dx
dy
εδ
=−∗=−
∗
=
;
т. е.
dx
dy
y
dx
d
δδ
=
в) (3.6)
∫∫
=
2
1
2
1
)()(
x
x
x
x
dxxydxxy
δδ
действительно:
∫
=
2
1
)(
x
x
dxxy
δ
[]
∫∫∫∫
=−∗=−∗
2
1
2
1
2
1
2
1
)()()(
x
x
x
x
x
x
x
x
dxxydxyydxxydxxy
δ
При нахождении экстремума функции одной переменной в
математическом анализе мы приравниваем первую производную нулю
. В этой точке скорость изменения функции равняется нулю, и эта
точка называется стационарной. Аналогично поступают и в вариационном
исчислении. Условие стационарности функционала:
)0( =
x
y
0
=
S
δ
. (3.7)
Вычислим вариацию функционала, используя свойство в):
.
∫∫
== LdxLdxS
δδδ
Распишем
L
δ
по формуле (3.3):
),,(),,(),,(),,(
xxxxx
yyxLyyxLyyxLyyxLL
−
+
+
=
−∗=
∗
εϕ
εϕ
δ
.
Разложим
*
L
в ряд Маклорена по степеням
ε
и отбросим члены малости
выше
2
ε
и выше:
58
с другой стороны:

     dy dy ∗ dy d
δ       =   −  =   ( y ∗ − y ) = ε dy ;
     dx   dx dx dx                 dx

          d         dy
т. е.        δy = δ
          dx        dx
          x2           x2
в)   δ ∫ y ( x)dx = ∫ δy ( x)dx                                                           (3.6)
          x1           x1


действительно:

     x2           x2              x2          x2                 x2
δ ∫ y ( x)dx = ∫ y ∗ ( x)dx− ∫ y ( x)dx= ∫ [ y ∗− y ]dx = ∫ δy ( x)dx
     x1           x1              x1           x1                x1


          При   нахождении         экстремума        функции          одной    переменной          в

математическом анализе мы приравниваем первую производную нулю

( y x = 0) . В этой точке скорость изменения функции равняется нулю, и эта

точка называется стационарной. Аналогично поступают и в вариационном

исчислении. Условие стационарности функционала:

                                           δS =0 .                                        (3.7)

Вычислим           вариацию            функционала,           используя         свойство          в):

δS =δ ∫ Ldx=∫ δLdx .

Распишем δL по формуле (3.3):

δL = L( x, y∗, y x∗ ) − L( x, y, y x ) = L( x, y + εϕ , y x + εϕ x ) − L( x, y, y x ) .

Разложим L* в ряд Маклорена по степеням ε и отбросим члены малости

выше ε 2 и выше:



                                                                                                  58

Страницы