Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+−=
x
x
x
x
xx
y
L
y
L
y
L
y
L
yyxLyyxLL
ϕϕεεϕεϕδ
...),,(),,(
Таким образом, условие стационарности функционала (3.7) будет
выглядеть так:
0
2
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
∫
dx
y
L
y
L
S
x
x
x
x
ϕϕεδ
(3.8)
Второе слагаемое в (3.8) проинтегрируем по частям:
dx
y
L
dx
d
y
L
dx
y
L
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
∂
∂
−
∂
∂
⋅=
∂
∂
∫∫
2
1
2
1
2
1
ϕϕϕ
(3.9)
Так как мы закрепили функцию
)(
x
y
в точках и , то в этих точках
1
x
2
x
0=
ϕ
и первое слагаемое в (3.9) исчезает.
Таким образом:
0)(
2
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
∫
dxx
y
L
dx
d
y
LS
x
x
x
ϕ
ε
δ
Так как
)(
x
ϕ
- произвольная функция, то подинтегральное выражение можно
приравнять к нулю:
0=
∂
∂
−
∂
∂
x
y
L
dx
d
y
L
(3.10)
Это уравнение, определяющее условие минимизации функционала
S
,
называется уравнением Эйлера
− Лагранжа. Строго говоря, еще надо
показать, что
0
2
>L
δ
. Но, как правило, это условие выполняется
автоматически.
59
                                         ∂L        ∂L                     ⎛ ∂L  ∂L ⎞
δL = L( x, y, y x ) − L( x, y, y x ) +      ⋅ εϕ +      ⋅ εϕ x + ... = ε ⎜⎜ ϕ +      ϕ x ⎟⎟
                                         ∂y        ∂y x                   ⎝ ∂y  ∂y x      ⎠

     Таким образом, условие стационарности функционала (3.7) будет

выглядеть так:

                                          x2
                                             ⎛ ∂L    ∂L ⎞
                                 δS = ε ∫ ⎜⎜      ϕ+      ϕ x ⎟⎟dx = 0                (3.8)
                                           x ⎝
                                           1
                                               ∂y    ∂y x      ⎠



     Второе слагаемое в (3.8) проинтегрируем по частям:
                                                        x2
                            x2
                              ∂L                ∂L            x2
                                                                    d ∂L
                            ∫      ϕ   dx = ϕ ⋅              − ∫ϕ            dx        (3.9)
                            x ∂ yx              ∂ yx                dx ∂ y x
                                     x
                             1                          x1    x1



Так как мы закрепили функцию y (x ) в точках x1 и x2 , то в этих точках

ϕ = 0 и первое слагаемое в (3.9) исчезает.

     Таким образом:

δS x ⎛ ∂L d ∂L ⎞
       2

                     ⎟ϕ ( x)dx = 0
 ε x∫ ⎜⎝ ∂y dx ∂y x ⎟⎠
  = ⎜ −
       1




Так как ϕ ( x) - произвольная функция, то подинтегральное выражение можно

приравнять к нулю:

                                          ∂L d ∂L
                                            −        =0                               (3.10)
                                          ∂y dx ∂y x

     Это уравнение, определяющее условие минимизации функционала S ,

называется уравнением Эйлера − Лагранжа. Строго говоря, еще надо

показать, что        δ 2 L>0 . Но, как правило, это условие выполняется

автоматически.
                                                                                               59

Страницы