Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 61 стр.

Тогда:

                                                            a
                                             S =4πρν ∫ y x3 ⋅ y ⋅ dx;
                                                        2
                                                                        (3.11)
                                                            0


Граничные условия:

                                                 ⎧ y (0)=0;
                                                 ⎨                      (3.12)
                                                 ⎩ y ( a )= R

Таким образом, задача сводится к нахождению такой функции y (x), при

которой функционал S (3.11) принимает наименьшее значение.

Эту функцию мы найдем, решив уравнение Эйлера−Лагранжа (3.10).

Вычислим входящие в уравнение (3.10) производные:

∂L     ∂ 3
    =    ( y x ⋅ y )= y x3 ,
∂y ∂y
∂L      ∂
     =      ( y x3 ⋅ y )=3 y⋅ y x2 .
∂y x ∂y x

Подставим их в уравнение Эйлера−Лагранжа:

          d
y x3 −3      ( y⋅ y x2 )=0 .
          dx

Заметим, что:

d
   ( y⋅ y x2 ) = y x ⋅ y x2 + y⋅2 y x y xx = y x3 + 2 yy x y xx .
dx

Поэтому наше уравнение примет вид:

y x3 +3 yyx y xx =0

Проинтегрируем это уравнение, предварительно умножив на y x :


∫ y x dx=− 3∫ yy x y xx dx+C
    4                 2              3
                                    1    .

                                                                                 61