Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Вычислим интеграл справа по частям:
dxyyyyydxyydxy
xxxxxxx
∫∫∫
−⋅=⋅=
2334
3
Таким образом:
3
1
223
33 Cdxyydxyyyyy
xxxxx
+−=−⋅
∫∫
,
т.е. или .
3
1
3
Cyy
x
=⋅
yy C
x
13
1
/
=
Проинтегрируем это уравнение еще раз:
211
3/1
CxCdxCdxyy
x
+==
∫∫
,
∫∫
=⋅−⋅=
−
dxyyyydxyy
x
3/23/13/1
3
1
3/43/43/43/13/4
4
3
4
3
3
1
3
1
yyydxyy =⋅−=−=
∫
.
Таким образом:
или .
21
3/4
CxCy +=
4/3
21
)( CxCy +=
Используя граничные условия (3.12), найдем С
1
и С
2
:
.,)(,)(
0,0)0(
3/4
1
4/3
1
2
a
R
CaCRRay
Cy
===
==
Окончательно:
4/3
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
a
x
R
y
Таким образом, тело, испытывающее минимальное сопротивление при
движении в воде, должно иметь форму параболы степени 3/4.
62
Вычислим интеграл справа по частям:

∫y       dx=∫ y x3 ⋅ y x dx= y x3 ⋅ y −∫ 3 yy x2 y xx dx
     4
     x



Таким образом:

y x3⋅ y−∫ 3 yy x2 y xx dx=− 3∫ yy x2 dx+C13 ,

т.е. y x ⋅ y=C1 или y x y 1/ 3 = C1 .
            3          3



Проинтегрируем это уравнение еще раз:

∫y          y x dx=∫ C1dx=C1 x+C2 ,
     1/ 3




                                   1
∫y          y x dx= y1 / 3 ⋅ y −     ∫ y⋅ y −2 / 3 dx=
     1/ 3

                                   3

                 1 1/ 3             1 3         3
= y4/3−
                 3 ∫ y dx= y 4 / 3 − ⋅ y 4 / 3 = y 4 / 3 .
                                    3 4         4

Таким образом:

 y 4 / 3 =C1 x+C2 или y=(C1 x+C2 )3 / 4 .

Используя граничные условия (3.12), найдем С1 и С2:

y (0) = 0, C2 = 0
                                             R4/3
y ( a ) = R,               R = (C1a ) , C1 =
                                       3/ 4
                                                  .
                                              a

Окончательно:

                3/ 4
y ⎛ x⎞
 =⎜ ⎟
R ⎝a⎠

         Таким образом, тело, испытывающее минимальное сопротивление при

движении в воде, должно иметь форму параболы степени 3/4.



                                                                      62

Страницы