Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 64 стр.

      Рассмотрим теперь систему материальных точек, взаимодействующих

только друг с другом, но ни с какими посторонними телами; такую систему

называют замкнутой. Взаимодействие между точками может быть описано

прибавлением   к    функции   Лагранжа        свободно   движущихся     точек

определенной функции координат         ( − U ) , называемой потенциальной

энергией системы:

                              L=T (v )−U ( y )                        (3.13)

      Этот вид функции Лагранжа показывает, что время не только

однородно, но и изотропно, т.е. его свойства одинаковы по обоим

направлениям. В самом деле замена t на − t оставляет функцию Лагранжа, а

следовательно, и уравнение движения неизменными. В этом смысле все

движения, происходящие по законам физики, обратимы.

      Подставляя функцию Лагранжа (3.13) в уравнение (3.10), найдем

уравнение движения системы взаимодействующих частиц:

                                   dv ∂ U
                               m      =−
                                   dt    ∂r

                                                     ⎛ ∂U⎞ r
которое называется уравнением Ньютона; вектор ⎜⎜ −     ⎟⎟= F называется
                                               ⎝   ∂ r  ⎠

силой, действующей на отдельную точку.

      В силу однородности времени функция Лагранжа замкнутой системы

не зависит явно от времени. Поэтому полная производная функции Лагранжа

по времени может быть записана следующим образом:



                                                                               64