Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 66 стр.

суммы кинетической и потенциальной энергии.

          В силу однородности пространства свойства замкнутой системы не

меняются при любом параллельном переносе системы как целого в

пространстве. Изменение функции Лагранжа L в результате бесконечного

малого изменения координат ( y → y + ε ) при неизменных скоростях частиц

есть

      ∂L     ∂L
δL=      δy=ε .
      ∂y     ∂y

Ввиду произвольности ε требование δL=0 эквивалентно требованию

∂L
   =0 ,
∂y

т.е. сумма сил, действующих на частицы замкнутой системы, равна нулю. В

силу уравнения Эйлера−Лагранжа получим отсюда:

                                    d ⎛ ∂L ⎞ d
                                       ⎜ ⎟= (mv )=0                   (3.15)
                                    dt ⎝ ∂v ⎠ dt

          Таким образом, мы приходим к выводу, что в замкнутой системе
                         r     r                                               r
векторная величина P=mv            остается неизменной при движении. Вектор P

называется импульсом, а (3.15) выражает закон сохранения импульса.

Разложим потенциальную функцию U ( y ) в ряд Маклорена:

                                                 k 2 α 3 β 4
                U ( y ) = U (0) + U ′(0) ⋅ y +      y + y + y +...     (3.16)
                                                 2!    3!  4!

где: k =U ′′(0); α = U ′′′(0); β = U ′′′′(0) .

       При соответствующем выборе начала координат и переопределении

                                                                               66