Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

входящих коэффициентов первые два слагаемых в (3.16) можно положить
равными нулю. Рассмотрим сначала первый из оставшихся, неисчезающий
член:
2
2
)(
y
k
yU ≅
.
В этом случае функция Лагранжа имеет вид:
22
22
kyym
L −=
&
(3.17)
Подставляя (3.17) в (3.10) получим соответствующее уравнение
движения:
;;0
22
m
k
yy ==+
ωω
&&
Мы получили так называемое линейное уравнение осциллятора (см.
раздел 3.3), решение которого может быть представлено в виде:
)cos(
δ
ω
+
=
t
A
y
(3.17)
В этом случае говорят о линейных, гармонических колебаниях.
Энергия системы, совершающей гармонические колебания, есть:
)(
222
222
22
yy
mkyym
E
ω
+=+=
&
&
или, подставляя сюда (3.18), получим:
22
2
1
AmE
ω
=
Т.е. энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды его
колебаний.
67
входящих коэффициентов первые два слагаемых в (3.16) можно положить

равными нулю. Рассмотрим сначала первый из оставшихся, неисчезающий

               k
член: U ( y ) ≅ y 2 .
               2

В этом случае функция Лагранжа имеет вид:

                                my& 2 ky 2
                             L=      −                          (3.17)
                                 2     2

      Подставляя (3.17) в (3.10) получим соответствующее уравнение

движения:

                                                    k
                            &y& + ω 2 y =0; ω 2 =     ;
                                                    m

      Мы получили так называемое линейное уравнение осциллятора (см.

раздел 3.3), решение которого может быть представлено в виде:

                               y = A cos(ωt +δ )                 (3.17)

В этом случае говорят о линейных, гармонических колебаниях.

Энергия системы, совершающей гармонические колебания, есть:

                           my& 2 ky 2 m 2 2 2
                        E=      +    = ( y& +ω y )
                            2     2   2

или, подставляя сюда (3.18), получим:

                                    1
                                 E = mω 2 A 2
                                    2

      Т.е. энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды его

колебаний.




                                                                         67

Страницы