Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Учтем в разложении потенциальной функции (3.16) также члены
третьей и четвертой степени y. Функцию Лагранжа запишем в следующем
виде:
432
2
0
2
4322
y
m
y
m
y
m
ym
L
βα
ω
−−−=
&
.
Соответствующее уравнение движения:
322
0
yyyy
β
α
ω
−−=+
&&
называется нелинейным (ангармоническим).
Будем искать его решение в виде ряда последовательных
приближений:
)3()2()1(
yyyy ++= ,
причем:
tAy
ω
cos
)1(
=
с точным значением
ω
, которое будем затем искать в виде ряда
K
+
++=
)2()1(
0
ω
ω
ω
ω
(начальную фазу в можно всегда обратить в нуль
подлежащим выбором начала отсчета времени).
)1(
y
После несложных манипуляций получим:
t
AA
y
ω
ω
α
ω
α
2cos
62
2
0
2
2
0
2
)2(
+−=
,
t
AA
y
ω
β
ωω
3cos
2316
2
0
2
2
0
2
)3(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
.
68
           Учтем в разложении потенциальной функции (3.16) также члены

третьей и четвертой степени y. Функцию Лагранжа запишем в следующем

виде:

   my& 2 mω02 2 mα 3 mβ 4
L=      −    y −   y −   y .
    2     2      3     4

Соответствующее уравнение движения:

&y& + ω02 y = − α y 2 − β y 3

называется нелинейным (ангармоническим).

              Будем             искать       его   решение    в   виде   ряда   последовательных

приближений:

y= y (1) + y ( 2 ) + y ( 3) ,

причем:

y (1) = A cos ω t

с точным значением                       ω   , которое       будем затем искать в виде ряда

ω =ω0 +ω (1) +ω ( 2 ) + K (начальную фазу в y (1) можно всегда обратить в нуль

подлежащим выбором начала отсчета времени).

После несложных манипуляций получим:



     αA 2 αA 2
y =−
  ( 2)
          +     cos 2ω t ,
     2ω 02 6ω02



     A2 ⎛ A2 β ⎞
y =
  ( 3)
           ⎜     + ⎟cos 3ωt .
    16ω02 ⎜⎝ 3ω02 2 ⎟⎠
                                                                                              68

Страницы