Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

y
y
L
y
y
L
dt
dL
&&
&
&
∂
∂
∂
∂
+=
,
(если бы L зависела явно от времени, то к правой стороне данного равенства
добавился бы член
t
L
∂
∂
). Заменяя производные
y
L
∂
∂
, согласно уравнению
Эйлера
−Лагранжа, на
y
L
dt
d
&
∂
∂
, получим:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=+= y
y
L
dt
d
y
y
L
y
L
dt
d
y
dt
dL
&
&
&&
&&
&
∂
∂
∂
∂
∂
∂
или
0=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− L
y
L
y
dt
d
&
&
∂
∂
.
Отсюда видно, что величина Е
constL
y
L
yE =−=
&
&
∂
∂
(3.14)
остается неизменной при движении замкнутой системы. Эта величина E
называется энергией, а (3.14) выражает закон сохранения энергии.
Системы, энергия которых сохраняется, называют консервативными.
Заметим, что
T
y
T
y
y
L
y 2==
&
&
&
&
∂
∂
∂
∂
.
Подставляя это значение в (3.14), найдем:
U
T
E
+=
Таким образом, энергия системы может быть представлена в виде
65
                                      dL ∂ L ∂ L
                                        =   y& +  &y& ,
                                      dt ∂ y ∂ y&

(если бы L зависела явно от времени, то к правой стороне данного равенства

                             ∂L                        ∂L
добавился бы член               ). Заменяя производные     , согласно уравнению
                             ∂t                        ∂ y

                              d∂L
Эйлера−Лагранжа, на                   , получим:
                              dt ∂ y&

                                 dL      d ∂L ∂L           d ⎛∂ L ⎞
                                    = y&        +     &y& = ⎜⎜      y& ⎟
                                 dt      dt ∂ y& ∂ y&      dt ⎝ ∂ y& ⎟⎠

или

                                          d⎛ ∂L          ⎞
                                             ⎜⎜ y&  − L ⎟⎟=0 .
                                          dt ⎝ ∂ y&      ⎠

Отсюда видно, что величина Е

                                               ∂L
                                      E = y&        − L=const              (3.14)
                                               ∂ y&

остается неизменной при движении замкнутой системы. Эта величина E

называется энергией, а (3.14) выражает закон сохранения энергии.

Системы, энергия которых сохраняется, называют консервативными.

Заметим, что

     ∂L        ∂T
y&        = y&      = 2T .
     ∂ y&      ∂ y&

Подставляя это значение в (3.14), найдем:

E =T +U

          Таким образом, энергия системы может быть представлена в виде

                                                                                    65

Страницы