Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 60 стр.

Таким образом, зная функцию Лагранжа конкретной системы, мы всегда

можем найти уравнения движения этой системы.

        В качестве примера рассмотрим так называемую задачу Ньютона.

Задача, поставленная Ньютоном, формулируется так: какова форма тела

(например корабля), испытывающего                      наименьшее сопротивление при

движении в воде?

        Пусть приближенно форму тела будет изображать параболоид вращения

с параметрами: R - радиус сечения параболоида на расстоянии а от начала

координат, θ - угол касательной к поверхности параболоида в точке R .

Введем обозначения:

ρ - плотность воды; ν - скорость движения тела;

p=2 ρν 2 sin 2 θ - нормальная составляющая давления на тело;

dА=[πy (1+ y x2 )1/ 2 ]sin θ dx - площадь кольца, выделенного на поверхности

движущегося тела;

dF= pdА - сила, действующая на кольцо.

Полная сила, действующая на поверхность тела при его движении:

    a         a
F =∫ pdA= ∫ 4πρν 2 sin 3 θ ⋅ y (1 + y x2 )1 / 2 dx = S .
    0         0


Это и будет функционалом задачи Ньютона.

Сделаем приближение:

              tgθ             yx
sin θ =                 =              ≅ y x ; т. к. y 2x << 1 .
          (1+tg θ )
                2  1/ 2
                          (1+ y x )
                                2 1/ 2




                                                                                 60