Основы компьютерной графики: Часть 1. Математический аппарат компьютерной графики. Казанцев А.В. - 11 стр.

ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ, часть 1                                                              11




         Так мы уже получили уравнение плоскости. Раскроем скобки и
запишем его в более удобном виде: np = c , где константа c = na . Если
n = ( A, B, C ) , а p = ( x, y, z ) , то в координатной записи наше уравнение
плоскости запишется в виде

                                      Ax + By + Cz = c                                      (5)

          Известно что плоскость может быть задана тремя точками, лишь бы
они не лежали на одной прямой, то есть если они не коллинеарны. Получим
уравнение плоскости для трех заданных точек. Для этого рассмотрим
определение векторного произведения. Результатом векторного произведения
двух векторов p × q является вектор r , модуль которого равен
 p × q = p q Sinα , и направлен он перпендикулярно плоскости в которой
лежат векторы p и q , причем векторы p, q, r – образуют правую тройку
векторов (см. определение правой системы координат), здесь α также угол
между векторами p и q . Для векторов единичного базиса, образующих
правую тройку, как следует из определения: i × j = k , j × k = i , k × i = j .
Векторное произведение также подчиняется дистрибутивному закону как и
скалярное произведение. Однако векторное произведение не коммутативно, а
именно, если для векторов u × v = w , то v × u = − w , что также прямо следует
из определения. Координаты векторного произведения легко получить
разложив векторы, участвующие в произведении, по базису, а затем раскрыв
скобки, подобно тому как это уже было проделано для скалярного
произведения. Есть и другой, неформальный, но легче запоминаемый способ
получения координат векторного произведения, с помощью разложения
следующего определителя по его первой строке. Если p = ( p1 , p2 , p3 ) и
q = (q1 , q2 , q3 ) , тогда


        i    j    k
p × q = p1   p2   p3 = (p2 q3 - p3 q2 ) ⋅ i + (p1 q3 - p3 q1 ) ⋅ j + (p1 q2 - p2 q1 ) ⋅ k
       q1    q2   q3

      Сведем теперь условия в новой постановке задачи нахождения
уравнения плоскости к предыдущему случаю, где мы использовали вектор