Основы компьютерной графики: Часть 1. Математический аппарат компьютерной графики. Казанцев А.В. - 9 стр.

ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ, часть 1                                                    9



радиус-вектора p * . Преобразуем это уравнение к виду в котором
используются только координаты двух исходных векторов p1 и p2 :
           p = p1 + μp * = p1 + μ ( p2 − p1 ) ⇒ p − p1 = μ ( p2 − p1 )            (1)


     Из этого векторного          равенства       получаем      три      равенства      для
соответствующих координат:
                                   ⎧ x − x1 = μ ( x2 − x1 )
                                   ⎪
                                   ⎨ y − y1 = μ ( y 2 − y1 )
                                   ⎪ z − z = μ (z − z )
                                   ⎩      1        2     1

      Попарно разделив эти уравнения друг на друга для того чтобы
избавится от коэффициента μ , получаем следующую систему уравнений,
определяющую нашу прямую в трехмерном пространстве:
                     ⎧( x − x1 )( y 2 − y1 ) = ( x2 − x1 )( y − y1 )
                     ⎪
                     ⎨ ( y − y1 )( z 2 − z1 ) = ( y 2 − y1 )( z − z1 ) (2)
                     ⎪ ( z − z )( x − x ) = ( z − z )( x − x )
                     ⎩        1     2     1        2     1         1




       В практических задачах иногда бывает нужно узнать лежит ли
некоторая точка, принадлежащая прямой, внутри отрезка, заданного
координатами своих концов на данной прямой, или снаружи. Для решения
этой задачи перепишем уравнение (1) в следующем виде:

                                p = (1 − μ ) p1 + μp2                       (3)

      При μ ∈ [0,1] получаем точки прямой, лежащие между p1 и p2 . При
μ < 0 – точки лежащие на прямой за p1 , при μ > 1 – точки, лежащие на
прямой за p2 . Для проверки этого просто подставьте в уравнение вместо μ
значения 0 и 1.

      Перейдем теперь к выводу уравнения плоскости. Мы сможем
получить его тремя путями. Но прежде напомним определение скалярного
произведения. Для двух радиус-векторов p и q скалярным произведением
назовем число p ⋅ q = p q Cosα , где α - угол между векторами p и q . Для
векторов запись вида pq или ( p, q ) также будем считать скалярным