Основы компьютерной графики для программистов. Казанцев А.В. - 12 стр.

Основы компьютерной графики для программистов                                                                  12
____________________________________________________________________________________________________________________



Некоторые элементарные задачи
Иногда бывает необходимо вычислить длину проекции радиус-вектора не на ось
системы координат, а на другой радиус-вектор. Найдем длину проекции вектора a на
вектор b . Эта ситуация изображена на рис. 7, из которого, очевидно, следует и
решение задачи.
                                                 a ⋅b     b
Искомая проекция: μ = a Cosα = a                      =a ⋅ .
                                                 ab       b
В случае тупого угла между векторами
a и b значение μ в данном выражении
будет отрицательным. Поэтому для
получения длины проекции следует
взять μ .

Как видно, если длина вектора, на
который проецируется другой вектор,
равна единице, то длина проекции
будет   просто   равна    скалярному
произведению этих векторов.
С помощью формулы длины проекции
                                            Рис. 7. Проекция вектора a на вектор b .
вектора на вектор можно еще одним
способом       получить     уравнение
плоскости, если заметить, что длины проекций радиус-векторов, принадлежащих
плоскости, на вектор нормали к плоскости всегда равны между собой.

Рассмотрим задачу нахождения минимального расстояния от начала координат до
плоскости. Очевидно, что это расстояние необходимо откладывать вдоль прямой,
определяемой вектором нормали к плоскости. Но для нахождения этого расстояния
надо найти сначала точку пересечения прямой с плоскостью. Поэтому найдем вначале
решение задачи нахождения точки пересечения прямой и плоскости. Обозначим
искомую точку, или соответствующий ей радиус-вектор x. Тогда эта точка должна
одновременно удовлетворять уравнениям прямой и плоскости, например, x = p1 + μp *
и nx = c , где p1 и p * – базовый и направляющий векторы, а n – вектор нормали к
плоскости. Подставив x из первого уравнения во второе, найдем значение константы
μ , которое затем подставим в исходное уравнение прямой для получения координат
искомой точки:
                                                                              с − np1
                               n( p1 + μp * ) = c ⇒ np1 + μnp* = c ⇒ μ =
                                                                                np *

Уравнение прямой вдоль вектора нормали к плоскости запишем как x = μ ⋅ p * , так как
прямая проходит через начало координат и базовый вектор p1 равен нулю. Перед тем
как подставить в это уравнение выражение для μ , заметим, что направляющий вектор
совпадает с вектором нормали p* = n . Учитывая это, запишем:


                                                      c       c
                                                x=       ⋅n = 2 ⋅n
                                                     n⋅n     n

http://www.ksu.ru/persons/9134.ru.html