Основы компьютерной графики для программистов. Казанцев А.В. - 10 стр.

Основы компьютерной графики для программистов                                                                  10
____________________________________________________________________________________________________________________



Уравнение плоскости
Используем свойства скалярного произведения для получения уравнения плоскости.
Рассмотрим некоторую плоскость в пространстве и некоторую точку a , про которую
известно, что она лежит в этой плоскости, как показано на рисунке 5.
Возьмем также некоторый радиус-вектор n , перпендикулярный нашей плоскости. Этот
вектор назовем нормалью к плоскости. Пусть теперь требуется определить,
принадлежит ли некоторая точка (или радиус-вектор) p плоскости или нет. Для этого
заметим, что для любой точки p , принадлежащей плоскости, вектор ( p − a ) и радиус-
вектор нормали n – перпендикулярны. А это значит, что их скалярное произведение
равно нулю:
                                                    n( p − a ) = 0                               (4)




                                Рис. 5. Вывод уравнения плоскости в трехмерном пространстве.

Так, равенство (4) уже представляет собой уравнение плоскости в векторной форме.
Раскрыв скобки, можно записать его в более удобном виде: np = c , где константа
c = na . Если n = ( A, B, C ) , а p = ( x, y, z ) , то в координатной записи уравнение
плоскости запишется в виде
                                                  Ax + By + Cz = c                               (5)
Рассмотрим далее второй способ получения уравнения плоскости, которая задана тремя
неколлинеарными векторами, или тремя, не лежащими на одной прямой, точками. Для
этого рассмотрим определение операции векторного произведения. Результатом
векторного произведения двух векторов p × q является вектор r , модуль которого
равен p × q = p q Sinα , и направлен он перпендикулярно плоскости, в которой лежат
векторы p и q , причем векторы p, q, r – образуют правую тройку векторов (см.
определение правой системы координат), здесь α – угол между векторами p и q . Для
векторов единичного базиса, образующих правую тройку, как следует из определения:
i × j = k , j × k = i , k × i = j . Векторное произведение так же       подчиняется
дистрибутивному закону, как и скалярное произведение. Однако векторное
произведение не коммутативно, а именно, если для векторов u × v = w , то v × u = − w ,
что также прямо следует из его определения. Координаты векторного произведения
можно получить, если разложить векторы, участвующие в произведении, по базису, а
затем раскрыть скобки, подобно тому, как это уже было проделано для скалярного

http://www.ksu.ru/persons/9134.ru.html