Основы компьютерной графики для программистов. Казанцев А.В. - 8 стр.

Основы компьютерной графики для программистов                                                                  8
____________________________________________________________________________________________________________________



производится по часовой стрелке – то система координат левая*.
Существует также легкий способ определения вида системы координат по правой или
левой руке, как показано на рис. 3. Для левой руки большой, указательный и средний
пальцы формируют левую тройку ортогональных векторов. То же относится и к их
циклическим перестановкам.
Декартовы координаты точек позволяют описывать статичное положение точек в
пространстве. Однако, для проведения каких-либо преобразований над объектами,
которые описываются точками, необходимо иметь дополнительный математический
аппарат. В качестве такого математического аппарата применяют радиус-векторы.
Радиус-векторы обладают всеми свойствами векторов, но имеют одну особенность:
начало радиус-вектора находится всегда в начале системы координат, а конец радиус-
вектора лежит в некоторой точке пространства. Это свойство радиус-векторов
позволяет поставить во взаимно однозначное соответствие всем точкам пространства
соответствующие им радиус-векторы. Формально это соответствие запишем в
следующем виде. Пусть точка P имеет координаты ( p x , p y , p z ) , то есть P = ( p x , p y , p z ) ,
и p = p x i + p y j + p z k – радиус-вектор, конец которого находится в точке P , где i, j, k –
тройка единичных базисных векторов (ортов), или просто ортонормированный базис.
Тогда точке P взаимно однозначно соответствует радиус-вектор p , или
P = ( p x , p y , p z ) ⇔ p x i + p y j + p z k = p . Таким образом, можно легко переходить от
координат точек к радиус-векторам и обратно. Далее мы увидим, что представление
радиус-вектора в виде линейной комбинации векторов базиса имеет вполне конкретное
практическое применение. Отметим, что радиус-вектор иногда определяют как
преобразование переноса точки из начала координат в заданную точку пространства с
известными координатами. При этом умножение радиус-вектора p на число a
соответствует переносу точки из начала координат в направлении вектора p на
                                                               2       2       2
расстояние a p , где в прямых скобках p =                   px + p y + pz          – модуль вектора.

Сложение радиус-векторов p + q можно рассматривать как перенос точки P по
направлению вектора q на расстояние q .


Уравнение прямой
Рассмотрим, каким образом можно использовать
координаты точек и радиус-векторы для описания
прямых в трехмерном пространстве. Уравнение
прямой дает информацию, принадлежит ли точка с
заданными координатами определенной прямой
или нет. Рассмотрим два способа вывода этого
уравнения. В первом случае выберем в
пространстве две точки P1 = ( x1 , y1 , z1 ) ⇔ p1 и
P2 = ( x2 , y 2 , z 2 ) ⇔ p2 .
                                                                           Рис. 4. Вывод уравнения прямой
Проведем от точки P1 к точке P2 обычный вектор
                                                                             в трехмерном пространстве.


               *
          В этом определении при замене, скажем, оси Oz на ось Ox остальные оси заменяются
по правилу циклической перестановки, то есть Oy заменится на Oz, а Ox заменится на Oy.
Всего здесь циклических перестановок может быть три: (x,y,z)→(y,z,x)→(z,x,y).

http://www.ksu.ru/persons/9134.ru.html