Основы компьютерной графики для программистов. Казанцев А.В. - 9 стр.

Основы компьютерной графики для программистов                                                                      9
____________________________________________________________________________________________________________________



равный разности векторов p2 − p1 . Этому вектору соответствует параллельный ему
радиус-вектор p* = p2 − p1 , как показано на рис. 4. Тогда радиус-вектор p ,
определяющий некоторую точку на прямой, можно получить сложением, например,
вектора p1 и вектора p * , умноженного на некоторое число μ :
                                                        p = p(μ ) = p1 + μp * .
Так мы получили уравнение прямой в векторной форме, с помощью, так называемых,
базового и направляющего векторов, p1 и p * , соответственно. Преобразуем это
уравнение к виду, в котором используются только координаты двух исходных
векторов.
                           p = p1 + μp* = p1 + μ ( p2 − p1 ) ⇒ p − p1 = μ ( p2 − p1 )                        (1)
Из этого векторного равенства получаем три равенства для соответствующих
координат:
                                                         ⎧ x − x1 = μ ( x2 − x1 )
                                                         ⎪
                                                         ⎨ y − y1 = μ ( y2 − y1 )
                                                         ⎪ z − z = μ (z − z )
                                                         ⎩      1        2    1


Попарно разделив эти уравнения друг на друга, получаем следующую систему
уравнений, определяющую нашу прямую в трехмерном пространстве в форме записи
через координаты точек:
                                                ⎧(x − x1 )( y2 − y1 ) = ( x2 − x1 )( y − y1 )
                                                ⎪
                                                ⎨ ( y − y1 )( z 2 − z1 ) = ( y2 − y1 )( z − z1 )             (2)
                                                ⎪ ( z − z )( x − x ) = ( z − z )( x − x )
                                                ⎩        1     2     1        2    1         1

В практических задачах иногда бывает нужно узнать, лежит ли некоторая точка,
принадлежащая прямой, внутри отрезка, заданного координатами своих концов, на
данной прямой или снаружи. Для решения этой задачи перепишем уравнение (1) в
следующем виде:
                                  p = (1 − μ ) p1 + μp2                 (3)
При μ ∈ [0,1] получаем точки прямой, лежащие между p1 и p2 . При μ < 0 – точки
лежащие на прямой за p1 , при μ > 1 – точки, лежащие на прямой за p2 . Для проверки
этого просто подставьте в уравнение вместо μ значения 0 и 1.
Перейдем теперь к задаче вывода уравнения плоскости. Мы рассмотрим три способа
его получения. Для этого прежде напомним определение скалярного произведения.
Для двух радиус-векторов p и q скалярным произведением называется число
 p ⋅ q = p q Cosα , где α – угол между векторами p и q . Для векторов запись вида pq
или ( p, q ) также считается скалярным произведением. С практической точки зрения это
определение может вызвать некоторое смущение. Действительно, вычислить угол
между векторами, которые заданы координатами в трехмерном пространстве, вряд ли
может показаться простым делом. Но, во-первых, часто бывает достаточно знать не
само значение угла, а значение его косинуса, а во-вторых, скалярное произведение в
ортонормированной системе координат можно выразить через координаты векторов:
                              p ⋅ q = ( p1i + p 2 j + p3 k )(q1i + q 2 j + q3 k ) = p1q1 + p2 q2 + p3 q3 ,
так как при раскрытии скобок скалярные произведения перпендикулярных векторов
базиса, по определению скалярного произведения, обращаются в ноль.

http://www.ksu.ru/persons/9134.ru.html