Основы компьютерной графики для программистов. Казанцев А.В. - 13 стр.

Основы компьютерной графики для программистов                                                                  13
____________________________________________________________________________________________________________________



Отсюда искомое расстояние от начала координат до плоскости равно


                                                                     c
                                                               x =
                                                                     n
В том случае, когда вектор нормали n является нормированным, т.е. его длина равна 1,




                                                 Рис. 8. Направляющие косинусы.


константа c в уравнении плоскости равна расстоянию от начала координат до данной
плоскости.
Кроме определения положения точек в пространстве радиус-векторы также определяют
направление в пространстве. Направление, определяемое радиус-вектором, удобно
описывать с помощью, так называемых, направляющих косинусов. Пусть радиус-
вектор p = ( p1 , p2 , p3 ) составляет с осями координат Ox , Oy и Oz углы,
соответственно, α x ,α y и α z (рисунок 8). Тогда его направляющие косинусы равны:

                                                       p1            p             p
                                         Cos α x =        , Cos α y = 2 , Cos α z = 3
                                                       p              p             p
Отсюда, очевидно, вытекают следующие свойства направляющих косинусов:
                                                Cos 2α x + Cos 2α y + Cos 2α z = 1 .
Направляющие косинусы пропорциональны соответствующим координатам:
                                           Cosα x : Cosα y : Cosα z = p1 : p2 : p3 ,
а в случае, когда вектор p нормирован, значения его координат равны
соответствующим направляющим косинусам.
Уравнение плоскости можно представить как функцию трех переменных. Для этого в
уравнении (5) перенесем константу из правой части в левую и запишем функцию трех
переменных f ( x, y, z ) = Ax + By + Cz − c . Если подставить координаты точки, принад-
лежащей данной плоскости, в это уравнение, то f ( x, y, z ) = 0 . Если же точка не
принадлежит плоскости, то значение функции, очевидно, будет больше или меньше
нуля. Интересен тот факт, что для точек, лежащих по одну и ту же сторону от
плоскости, функция f ( x, y, z ) имеет всегда один и тот же знак. С помощью чертежа на
рисунке 9 , можно показать, что для точек, лежащих в полупространстве, порождаемом

http://www.ksu.ru/persons/9134.ru.html