Обработка результатов физического эксперимента на примере измерения ускорения свободного падения. Кирин И.Г. - 19 стр.

                                                           19

рий в математической статистике получил название критерия наименьших квадра-
тов. Пусть для некоторого определенного значения А прямая у = Aх пройдет так,
как это показано на рис. 4. Для х = хj ордината у при этом равна Aхi, эксперимен-
тальное значение у для х = хi равно уi, т.е. существует отклонение эксперимен-
тального значения уi от вычисленного значения Axi. Эти отклонения для каждого
измеренного значения у могут отличаться как по величине, так и по знаку,
            ∆ i = yi − Axi                                              (25)

    Cогласно условию наименьших квадратов, угловой коэффициент прямой у = Aх
должен быть таким, чтобы сумма квадратов отклонений ординат прямой у = Aх при
тех же значениях аргумента была минимальной. Это условие метода наименьших
квадратов математическим записывается так,


                        n
             Q = ∑ ( yi − Axi ) ⇒ min
                                       2
                                                                        (26)
                       i =1



    В выражении (26) остаточная сумма квадратов Q является функцией неизвест-
ного параметра A. Минимальное значение этой функции достигается тогда, когда ее
производная при некотором значении A равна нулю, т.е.

              dQ
                 =0                                                     (27)
              dA

    Следовательно, взяв от суммы (26) производную по параметру и приравняв ее
к нулю, получим уравнение

         d  n                   2
                                          n

              ∑ i
         dA  i =1
                    ( y − Ax i )   = 2 ∑    ( yi − Axi )( − xi ) = 0          (28)
                                       i =1



    Это уравнение линейное относительно A, и из него легко можно получить фор-
мулу для нахождения неизвестного параметра A:

                n

              ∑x y     i           i
         A=    i =1
                  n
                                                                               (29)
               ∑x
                               2
                           i
                i =1