Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 13 стр.

                                                               13
1.4. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ìàòðèö

     Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî M ïðÿìîóãîëüíûõ m × n ìàòðèö.
Ñóììà äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ìàòðèö èç M åñòü ñíîâà ìàòðèöà èç
M . Ïðîèçâåäåíèå ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû èç M íà ïðîèçâîëü-
íîå ÷èñëî èç ïîëÿ K åñòü ñíîâà ìàòðèöà èç M .

Îïðåäåëåíèå 1.4. Îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà M
íå âûâîäÿùèå íàñ èç äàííîãî ìíîæåñòâà (âíóòðåííÿÿ îïåðàöèÿ)
M × M → M è óìíîæåíèÿ ýëåìåíòà ìíîæåñòâà M íà ÷èñëî èç
ïîëÿ K äàþùèå ñíîâà ýëåìåíò èç M (âíåøíÿÿ îïåðàöèÿ)
K × M → M íàçûâàþò ëèíåéíûìè îïåðàöèÿìè.
    Èñïîëüçóÿ ëèíåéíûå îïåðàöèè, ìû ìîæåì ñîñòàâëÿòü èç ýëå-
ìåíòîâ ìíîæåñòâà M ìàòðèö ôèêñèðîâàííîãî ðàçìåðà m × n
                          A1 , A2 , ..., Ak
è ÷èñåë èç ïîëÿ K
                          α1 , α 2 , ..., α k
âûðàæåíèÿ âèäà
             α1 A1 + α 2 A2 + ... + α k Ak ∈ M ,         (1.6)
êîòîðûå â äàëüíåéøåì ìû áóäåì íàçûâàòü ëèíåéíûìè êîìáèíà-
öèÿìè ìàòðèö.
    Åñëè êàêàÿ-òî ìàòðèöà A ïðåäñòàâëåíà êàê ëèíåéíàÿ êîìáè-
íàöèÿ (1.6) äðóãèõ ìàòðèö, ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî äàííàÿ ìàòðè-
öà A ïî íèì ðàçëîæåíà.

Ïðèìåð. Ïóñòü p1 , p 2 , p 3 ñòîëáöû âûñîòû 4. Òîãäà ñòîëáåö q âû-
ñîòû 4 ïî íèì ðàçëîæåí, åñëè ïðè íåêîòîðûõ êîýôôèöèåíòàõ
α1 , α 2 , α 3
                      q = α1p1 + α 2p 2 + α 3p 3
èëè ïîäðîáíî