Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

14
α+α+α
α+α+α
α+α+α
α+α+α
=
α+
⋅α+
⋅α=
4
33
4
22
4
11
3
33
3
22
3
11
2
33
2
22
2
11
1
33
1
22
1
11
4
3
3
3
2
3
1
3
3
4
2
3
2
2
2
1
2
2
4
1
3
1
2
1
1
1
1
4
3
2
1
ppp
ppp
ppp
ppp
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
q
q
q
q
.
Ýòî ìàòðè÷íîå ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü, èñïîëüçóÿ ïîíÿ-
òèå ðàâåíñòâà ìàòðèö, â âèäå ñèñòåìû èç ÷åòûð¸õ ÷èñëîâûõ óðàâ-
íåíèé:
1
33
1
22
1
11
1
pppq α+α+α=
,
2
33
2
22
2
11
2
pppq α+α+α=
,
3
33
3
22
3
11
3
pppq α+α+α=
,
4
33
4
22
4
11
4
pppq α+α+α=
.
Ïðåäëîæåíèå 1.1. Êàêîâà áû íè áûëà ñèñòåìà ìàòðèö ôèêñèðîâàí-
íîãî ðàçìåðà
nm×
, íóëåâàÿ ìàòðèöà
nm
O
×
ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî ýòèì
ìàòðèöàì â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ñ íóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Òàêóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ áóäåì íàçûâàòü òðèâèàëüíîé.
O=α++α+α
kk
AAA
...
2211
(1.7)
ïðè
0...
21
=α==α=α
k
.
Î÷åâèäíî, ÷òî òàêàÿ êîìáèíàöèÿ ñóùåñòâóåò âñåãäà. Âîï-
ðîñ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ëè îíà åäèíñòâåííî âîçìîæíîé?
Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äà¸ò
. Ñèñòåìó ìàòðèö
1
A
,
2
A
, ...,
k
A
áóäåì íàçûâàòü ëèíåéíî íåçàâè-
ñèìîé, åñëè íóëåâàÿ ìàòðèöà ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî íåé îäíîçíà÷íî,
ò.å. èç
O=α++α+α
kk
AAA
...
2211
ñëåäóåò
0...
21
=α==α=α
k
.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ò.å. åñëè (1.7) âûïîëíÿåòñÿ è ïðè ýòîì
íå âñå
0=α
i
, ñèñòåìó ìàòðèö
1
A
,
2
A
, ...,
k
A
áóäåì íàçûâàòü ëè-
íåéíî çàâèñèìîé.
14

      q1         p11         p12       p31   α1 p11 + α 2 p12 + α 3 p13 
                                                                        
      q2         p12         p22       p32   α1 p12 + α 2 p22 + α 3 p32 
      3  = α1 ⋅  3  + α 2 ⋅  3  + α 3  3  =                           3
                                             p3   α1 p1 + α 2 p2 + α 3 p3  .
                                                           3         3
     q           p1          p2 
      q4         p4          p4        p4   α p4 + α p4 + α p4 
                 1           2         3  1 1           2 2       3 3 

     Ýòî ìàòðè÷íîå ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü, èñïîëüçóÿ ïîíÿ-
òèå ðàâåíñòâà ìàòðèö, â âèäå ñèñòåìû èç ÷åòûð¸õ ÷èñëîâûõ óðàâ-
íåíèé:
                            q1 = α1 p11 + α 2 p12 + α 3 p31 ,
                           q 2 = α1 p12 + α 2 p22 + α 3 p32 ,
                            q 3 = α1 p13 + α 2 p23 + α 3 p33 ,
                    q 4 = α1 p14 + α 2 p24 + α 3 p34 .
Ïðåäëîæåíèå 1.1. Êàêîâà áû íè áûëà ñèñòåìà ìàòðèö ôèêñèðîâàí-
íîãî ðàçìåðà m × n , íóëåâàÿ ìàòðèöà Om× n ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî ýòèì
ìàòðèöàì â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ñ íóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Òàêóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ áóäåì íàçûâàòü òðèâèàëüíîé.
               α1A1 + α 2 A2 + ... + α k Ak = O                              (1.7)
ïðè α1 = α 2 = ... = α k = 0 .
     Î÷åâèäíî, ÷òî òàêàÿ êîìáèíàöèÿ ñóùåñòâóåò âñåãäà. Âîï-
ðîñ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ëè îíà åäèíñòâåííî âîçìîæíîé?
Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äà¸ò
 . Ñèñòåìó ìàòðèö A1 , A2 , ..., Ak áóäåì íàçûâàòü ëèíåéíî íåçàâè-
ñèìîé, åñëè íóëåâàÿ ìàòðèöà ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî íåé îäíîçíà÷íî,
ò.å. èç
                          α1A1 + α 2 A2 + ... + α k Ak = O
ñëåäóåò α1 = α 2 = ... = α k = 0 .
     ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ò.å. åñëè (1.7) âûïîëíÿåòñÿ è ïðè ýòîì
íå âñå α i = 0 , ñèñòåìó ìàòðèö A1 , A2 , ..., Ak áóäåì íàçûâàòü ëè-
íåéíî çàâèñèìîé.

Страницы