Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 16 стр.

16

                                1       0    ...    0
                                                       
                                0       1    ...    0
                             E =
                                  ...   ...   ...   ... ,
                                                       
                                0            ...    1  n × n
                                        0

íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íîé ìàòðèöåé ïîðÿäêà n .
Ïðåäëîæåíèå 1.2. Ñòîëáöû (ñòðîêè) åäèíè÷íîé ìàòðèöû ëèíåé-
íî íåçàâèñèìû è îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî êàæäûé ñòîëáåö
(ñòðîêà) ñ òåì æå ÷èñëîì ýëåìåíòîâ ðàñêëàäûâàþòñÿ ïî íèì.
Ïðåäëîæåíèå 1.3. Ñèñòåìà èç k > 1 ìàòðèö ïîðÿäêà m × n ëèíåé-
íî çàâèñèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õîòÿ áû îäíà èç ìàòðèö
ýòîé ñèñòåìû åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ äðóãèõ.
     Äîïóñòèì, ÷òî ñèñòåìà
                α1A1 + α 2 A2 + ... + α k Ak = O                             (1.7)
ëèíåéíî çàâèñèìà. Òîãäà õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ α i îò-
ëè÷åí îò íóëÿ. Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè α1 ≠ 0 . Òîãäà èç (1.8)
ñëåäóåò:
                                α2     α            α
                       A1 = −      A2 − 3 A3 − ... − k Ak .
                                α1     α1           αk
Ïðåäëîæåíèå 1.4. Åñëè íåêîòîðûå èç ìàòðèö A1 , A2 , ..., Ak ñî-
ñòàâëÿþò ñàìè ïî ñåáå ëèíåéíî çàâèñèìóþ ñèñòåìó ìàòðèö, òî è
âñÿ äàííàÿ ñèñòåìà ìàòðèö ëèíåéíî çàâèñèìà.
     Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿ íóëåâàÿ êîìáèíà-
öèÿ èç ïåðâûõ s ìàòðèö, ò.å.
    α1 A1 + α 2 A2 + ... + α s As = O ïðè α1 ≠ 0 , α 2 ≠ 0 , ..., α s ≠ 0 .
    Ìû ìîæåì ê ýòîé êîìáèíàöèè äîáàâèòü òðèâèàëüíóþ íóëå-
âóþ êîìáèíàöèþ èç îñòàëüíûõ k − s ìàòðèö
  α s +1 As+1 + α s + 2 As + 2 + ... + α k Ak = O ïðè α s +1 = α s + 2 = ... = α k = 0 .
       ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èëè ëèíåéíóþ íóëåâóþ êîìáèíàöèþ
ìàòðèö