Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

17
O=α++α+α+α++α+α
++++
kkssssss
AAAAAA
......
22112211
ñ îòëè÷íûìè îò íóëÿ êîýôôèöèåíòàìè
0
1
≠α
,
0
2
≠α
, ...,
0≠α
s
,
÷òî è äîêàçûâàåò íàøå ïðåäëîæåíèå î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè
äàííîé ñèñòåìû.
Èç ïðåäëîæåíèÿ 1.4 ñëåäóåò, ÷òî åñëè â ñèñòåìó (1.7) âõîäèò
íóëåâàÿ ìàòðèöà ñèñòåìà áóäåò ëèíåéíî çàâèñèìîé.
Èç ïðåäëîæåíèÿ 1.2 ñëåäóåò
Ïðåäëîæåíèå 1.5. Ëþáûå ìàòðèöû, âõîäÿùèå â ëèíåéíî íåçàâè-
ñèìóþ ñèñòåìó ìàòðèö, ñàìè ïî ñåáå ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
Îáðàòíîå ïðåäïîëîæåíèå ïðîòèâîðå÷èëî áû ïðåäëîæåíèþ 1.4.
Ïðåäëîæåíèå 1.6. Åñëè ìàòðèöà
B
ðàñêëàäûâàåòñÿ â ëèíåéíî íå-
çàâèñèìóþ êîìáèíàöèþ ìàòðèö
1
A
,
2
A
, ...,
k
A
, òî êîýôôèöèåí-
òû ðàçëîæåíèÿ
1
α
,
2
α
, ...,
k
α
îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò äâà ðàçëè÷íûõ ðàçëîæåíèÿ
ìàòðèöû
B
:
kk
AAAB
α++α+α= ...
2211
è
kk
AAAB
β++β+β= ...
2211
.
Ñîñòàâèì ðàçíîñòü èç ýòèõ ðàçëîæåíèé:
()( ) ( )
O
=β−α++β−α+β−α=−
kkk
AAABB
...
222111
.
Ïî ïðåäïîëîæåíèþ
1
A
,
2
A
, ...,
k
A
ëèíåéíî íåçàâèñèìû è
íàì îñòà¸òñÿ ïîëîæèòü
()( )( )
O
=β−α==β−α=β−α
kk
...
2211
,
îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò
ii
β=α
,
ki ,...,2,1=
, ÷òî äîêàçûâàåò
åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ.
1.5. Ñèìâîë
Σ
. Ïðàâèëî ñóììèðîâàíèÿ Ýéíøòåéíà
 ìàòåìàòèêå ÷àñòî ðàññìàòðèâàþòñÿ ñóììû áîëüøîãî ÷èñ-
ëà ñëàãàåìûõ, èìåþùèõ ñõîäíûé âèä è îòëè÷àþùèõñÿ òîëüêî
èíäåêñàìè.
2 À.À. Êèðñàíîâ
                                                                                      17

     α1A1 + α 2 A2 + ... + α s As + α s +1As +1 + α s + 2 As + 2 + ... + α k Ak = O
ñ îòëè÷íûìè îò íóëÿ êîýôôèöèåíòàìè α1 ≠ 0 , α 2 ≠ 0 , ..., α s ≠ 0 ,
÷òî è äîêàçûâàåò íàøå ïðåäëîæåíèå î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè
äàííîé ñèñòåìû.
     Èç ïðåäëîæåíèÿ 1.4 ñëåäóåò, ÷òî åñëè â ñèñòåìó (1.7) âõîäèò
íóëåâàÿ ìàòðèöà ñèñòåìà áóäåò ëèíåéíî çàâèñèìîé.

    Èç ïðåäëîæåíèÿ 1.2 ñëåäóåò
Ïðåäëîæåíèå 1.5. Ëþáûå ìàòðèöû, âõîäÿùèå â ëèíåéíî íåçàâè-
ñèìóþ ñèñòåìó ìàòðèö, ñàìè ïî ñåáå ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
    Îáðàòíîå ïðåäïîëîæåíèå ïðîòèâîðå÷èëî áû ïðåäëîæåíèþ 1.4.
Ïðåäëîæåíèå 1.6. Åñëè ìàòðèöà B ðàñêëàäûâàåòñÿ â ëèíåéíî íå-
çàâèñèìóþ êîìáèíàöèþ ìàòðèö A1 , A2 , ..., Ak , òî êîýôôèöèåí-
òû ðàçëîæåíèÿ α1 , α 2 , ..., α k îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî.
    Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò äâà ðàçëè÷íûõ ðàçëîæåíèÿ
ìàòðèöû B :
      B = α1 A1 + α 2 A2 + ... + α k Ak è B = β1 A1 + β2 A2 + ... + β k Ak .
     Ñîñòàâèì ðàçíîñòü èç ýòèõ ðàçëîæåíèé:
        B − B = (α1 − β1 )A1 + (α 2 − β 2 )A2 + ... + (α k − βk )Ak = O .
    Ïî ïðåäïîëîæåíèþ A1 , A2 , ..., Ak ëèíåéíî íåçàâèñèìû è
íàì îñòà¸òñÿ ïîëîæèòü
                  (α1 − β1 ) = (α 2 − β2 ) = ... = (α k − βk ) = O ,
îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò α i = βi , i = 1,2,..., k , ÷òî äîêàçûâàåò
åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ.



1.5. Ñèìâîë Σ . Ïðàâèëî ñóììèðîâàíèÿ Ýéíøòåéíà

      ìàòåìàòèêå ÷àñòî ðàññìàòðèâàþòñÿ ñóììû áîëüøîãî ÷èñ-
ëà ñëàãàåìûõ, èìåþùèõ ñõîäíûé âèä è îòëè÷àþùèõñÿ òîëüêî
èíäåêñàìè.
2 À.À. Êèðñàíîâ

Страницы