Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

143
0
22
11
≠
BA
BA
. (5.73)
Ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå
()( )
0
222111
=++β+++α
CyBxACyBxA
(5.74)
ïðè
0
22
≠β+α
, ïðèíàäëåæèò ïó÷êó è ìîæåò áûòü âçÿòî â êà÷å-
ñòâå óðàâíåíèÿ ïó÷êà ïðÿìûõ.
Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (5.74) â âèäå
()()( )
0
212121
=β+α+β+α+β+α
CCyBBxAA
. (5.75)
Åñëè îäíîâðåìåííî âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
0
21
=β+α AA
,
0
21
=β+α BB
,
òî äîëæíî áûòü âûïîëíåíî óñëîâèå
0
22
11
=
BA
BA
,
ò.å. äàííûå ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, à òàê êàê â ñèëó óñëîâèÿ (5.73)
0
1221
≠− BABA
,
òî äîëæíî áûòü
0=β=α
, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ ïó÷êà
ïðÿìûõ. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (5.75) îïðåäåëÿåò ïðÿìóþ
ëèíèþ.
Òàê êàê òî÷êà
()
000
yxM,
ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ïó÷êà, å¸ êîîð-
äèíàòû óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (5.72)
0
10101
=++ CyBxA ,
0
20202
=++ CyBxA ,
à ïîòîìó êîîðäèíàòû òî÷êè
()
000
yxM,
óäîâëåòâîðÿþò è óðàâíå-
íèþ (5.75), è ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ïó÷êà.
Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó
()
yxM
′′
,
, îòëè÷íóþ
îò òî÷êè
()
000
yxM,
ïðîõîäèò ïðÿìàÿ âèäà (5.75). Ïîäñòàâèì êî-
îðäèíàòû òî÷êè
()
yxM
′′
,
â óðàâíåíèÿ (5.72)
                                                                    143

                  A1    B1
                           ≠0.                                  (5.73)
                  A2    B2
    Ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå
           α(A1x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 ) = 0       (5.74)
ïðè α 2 + β2 ≠ 0 , ïðèíàäëåæèò ïó÷êó è ìîæåò áûòü âçÿòî â êà÷å-
ñòâå óðàâíåíèÿ ïó÷êà ïðÿìûõ.
     Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (5.74) â âèäå
           (αA1 + βA2 )x + (αB1 + βB2 )y + (αC1 + βC2 ) = 0 .   (5.75)

    Åñëè îäíîâðåìåííî âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
                            αA1 + βA2 = 0 ,
                      αB1 + βB2 = 0 ,
òî äîëæíî áûòü âûïîëíåíî óñëîâèå
                             A1    B1
                                      =0,
                             A2    B2
ò.å. äàííûå ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, à òàê êàê â ñèëó óñëîâèÿ (5.73)
                           A1B2 − A2 B1 ≠ 0 ,
òî äîëæíî áûòü α = β = 0 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ ïó÷êà
ïðÿìûõ. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (5.75) îïðåäåëÿåò ïðÿìóþ
ëèíèþ.
    Òàê êàê òî÷êà M0 (x0 ,y0 ) ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ïó÷êà, å¸ êîîð-
äèíàòû óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (5.72)
            A1x0 + B1 y0 + C1 = 0 , A2 x0 + B2 y0 + C 2 = 0 ,
à ïîòîìó êîîðäèíàòû òî÷êè M0 (x0 ,y0 ) óäîâëåòâîðÿþò è óðàâíå-
íèþ (5.75), è ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ïó÷êà.
     Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó M (x′, y′) , îòëè÷íóþ
îò òî÷êè M0 (x0 ,y0 ) ïðîõîäèò ïðÿìàÿ âèäà (5.75). Ïîäñòàâèì êî-
îðäèíàòû òî÷êè M (x′, y′) â óðàâíåíèÿ (5.72)

Страницы