Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 150 стр.

150
òîð ar ïåðïåíäèêóëÿðåí íîðìàëüíîìó âåêòîðó ïëîñêîñòè nr , ò.å.,
åñëè
                                (ar, nr ) = 0
èëè
                   Al + Bm + Cn = 0 .                        (5.93)
                                            r
      Åñëè ïðè ýòîì íà÷àëüíûé âåêòîð ïðÿìîé r0             áóäó÷è ïîä-
ñòàâëåííûì â óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (5.13) ïðåâðàùàåò åãî â òîæ-
äåñòâî, òîãäà íà÷àëüíàÿ òî÷êà ïðÿìîé ëåæèò â äàííîé ïëîñêîñòè
è ïðÿìàÿ òîæå ëåæèò â ïëîñêîñòè.
     Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìàÿ l ëåæèò â ïëîñêîñòè π åñëè îäíî-
âðåìåííî âûïîëíåíû óñëîâèÿ
              Al + Bm + Cn = 0 è Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 .     (5.94)
     ßñíî, ÷òî íåâûïîëíåíèå óñëîâèÿ (5.93), ò.å.
                    Al + Bm + Cn ≠ 0 ,                         (5.95)
åñòü óñëîâèå ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè.
     Ïðÿìàÿ l ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ïëîñêîñòè π åñëè íàïðàâëÿþ-
ùèé âåêòîð ïðÿìîé ar ïàðàëëåëåí íîðìàëüíîìó âåêòîðó ïëîñêî-
ñòè nr , ÷òî ðàâíîñèëüíî çàïèñè
                    [ar, nr ] = θ ,                            (5.96)
èëè
                   r   r   r
                   i   j   k
                   l   m   n =θ
                                  .                          (5.97)
                   A B C

      2. Åñëè ïðÿìàÿ l çàäàíà â âèäå
                        A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 ,
                       A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 ,
à ïëîñêîñòü π çàäàíà ñâîèì îáùèì óðàâíåíèåì
                      Ax + By + Cz + D = 0 ,
òîãäà íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé â ñîîòâåòñòâèè ñ (5.33) èìå-
åò êîîðäèíàòû