Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 174 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

174
arr 2
21
=−
. (6.24)
Ìû ïîëó÷èëè ñîîòíîøåíèå (6.24), òàêîå æå êàê è ñîîòíîøå-
íèå (6.9) äëÿ ýëëèïñà.
Ãèïåðáîëà åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî âñåõ òî÷åê, àáñîëþò-
íàÿ âåëè÷èíà ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé êîòîðûõ îò ôîêóñîâ ðàâíà
a2
.
Ýòî è åñòü ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ãèïåðáîëû, ÷àñòî èñïîëüçóå-
ìîå è êàê îïðåäåëåíèå ãèïåðáîëû.
Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ïîçâîëÿåò íàì ñäåëàòü íåêîòîðîå
ïðåäïîëîæåíèå î ãëóáîêîì ðîäñòâå ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà.
6.3.2. Äèðåêòîðèàëüíûå ñâîéñòâà ãèïåðáîëû
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ äèðåêòîðèàëüíûõ ñâîéñòâ ãèïåðáîëû âîñ-
ïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì, èçëîæåííûì â ï. 6.2.2.
Çàïèøåì äèðåêòðèñû ãèïåðáîëû
e
a
x ±=
â âèäå íîðìàëüíûõ
óðàâíåíèé ïðÿìûõ
0=−
e
a
x
è
0=+
e
a
x
.
Åñëè
()
yxM,
åñòü ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ãèïåðáîëû (ðèñ. 6.12),
òî å¸ ðàññòîÿíèå äî ïðàâîé äèðåêòðèñû åñòü
e
a
xd −=
2
è â ñîîòâåòñòâèè ñ (6.20)
aexr −=
2
.
Òîãäà
e
e
aex
aex
e
a
x
aex
d
r
=
−
−
=
−
−
=
2
2
.
Ïðèìåíÿÿ ýòè æå ðàññóæäåíèÿ
ê äèðåêòðèñå
0=+
e
a
x
è ó÷èòûâàÿ,
Ðèñ. 6.12.
2
d
1
d
e
a
x =
e
a
x −=
()
yxM,
2
r
r
1
r
r
c
c−
O
y
x
Q
P
174

                   r1 − r2 = 2a .                      (6.24)
     Ìû ïîëó÷èëè ñîîòíîøåíèå (6.24), òàêîå æå êàê è ñîîòíîøå-
íèå (6.9) äëÿ ýëëèïñà.
     Ãèïåðáîëà åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî âñåõ òî÷åê, àáñîëþò-
íàÿ âåëè÷èíà ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé êîòîðûõ îò ôîêóñîâ ðàâíà 2a .
     Ýòî è åñòü ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ãèïåðáîëû, ÷àñòî èñïîëüçóå-
ìîå è êàê îïðåäåëåíèå ãèïåðáîëû.
     Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ïîçâîëÿåò íàì ñäåëàòü íåêîòîðîå
ïðåäïîëîæåíèå î ãëóáîêîì ðîäñòâå ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà.

6.3.2. Äèðåêòîðèàëüíûå ñâîéñòâà ãèïåðáîëû

    Äëÿ ïîëó÷åíèÿ äèðåêòîðèàëüíûõ ñâîéñòâ ãèïåðáîëû âîñ-
ïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì, èçëîæåííûì â ï. 6.2.2.
                                                  a
      Çàïèøåì äèðåêòðèñû ãèïåðáîëû x = ±            â âèäå íîðìàëüíûõ
                                                  e
óðàâíåíèé ïðÿìûõ
                                  a        a
                             x−     =0 è x+ =0.
                                  e        e
     Åñëè M (x, y ) åñòü ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ãèïåðáîëû (ðèñ. 6.12),
òî å¸ ðàññòîÿíèå äî ïðàâîé äèðåêòðèñû åñòü
                         a
              d2 = x −
                         e                           y
è â ñîîòâåòñòâèè ñ (6.20)
                                                  P d1   Q d2
             r2 = ex − a .                                        M (x, y )
                                                    r              r
     Òîãäà                                          r1            r2
        r2 ex − a ex − a
          =      =        =e                                       c
        d2 x − a   ex − a    .            −c         O                  x
               e     e
      Ïðèìåíÿÿ ýòè æå ðàññóæäåíèÿ
                   a                                 a        a
ê äèðåêòðèñå x +     = 0 è ó÷èòûâàÿ,           x=−       x=
                   e                                 e        e
                                                  Ðèñ. 6.12.

Страницы