Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 175 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

175
÷òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
()
yxM,
äî ëåâîé äèðåêòðèñû åñòü
e
a
xd +=
1
è
aexr +=
1
ïîëó÷èì
e
e
a
x
aex
d
r
=
+
+
=
1
1
.
Îêîí÷àòåëüíî ìû ìîæåì çàïèñàòü
e
d
r
d
r
==
2
2
1
1
. (6.25)
Èòàê, ãèïåðáîëà, åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî âñåõ òî÷åê îò-
íîøåíèÿ ðàññòîÿíèé êîòîðûõ îò ôîêóñîâ äî îäíîèì¸ííûõ äèðåê-
òðèñ ðàâíî ÷èñëîâîìó ýêñöåíòðèñèòåòó
e
.
Òàêèì îáðàçîì ïàðàáîëà, ýëëèïñ è ãèïåðáîëà ìîãóò áûòü
ïîëó÷åíû èç îäíîé è òîé æå äèðåêòîðèàëüíî-ôîêàëüíîé êîíôèãó-
ðàöèè. Âñ¸ ðàçëè÷èå çàêëþ÷àåòñÿ â âåëè÷èíå ÷èñëîâîãî ýêñöåíòðè-
ñèòåòà
e
:
0=e
- îêðóæíîñòü, êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ýëëèïñà;
10 <≤ e
- ýëëèïñ;
1=e
- ïàðàáîëà;
1>e
- ãèïåðáîëà.
6.3.3. Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãèïåðáîëå
Ðàññìîòðèì ïðàâóþ
()
0
>
x
âåòâü ãèïåðáîëû äëÿ
0>y
, ãðà-
ôèê ôóíêöèè êîòîðîé åñòü
22
ax
a
b
y −=
.
Òîãäà (ñì. ï. 6.2.3)
y
x
a
b
ax
x
a
b
y ⋅=
−
⋅=
′
2
2
22
.
                                                             175

÷òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M (x, y ) äî ëåâîé äèðåêòðèñû åñòü
                                 a
                      d1 = x +     è r1 = ex + a
                                 e
ïîëó÷èì
                            r1 ex + a
                               =      =e
                            d1      a    .
                                 x+
                                    e
    Îêîí÷àòåëüíî ìû ìîæåì çàïèñàòü
                 r1   r
                    = 2 =e.                             (6.25)
                 d1 d 2
    Èòàê, ãèïåðáîëà, åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî âñåõ òî÷åê îò-
íîøåíèÿ ðàññòîÿíèé êîòîðûõ îò ôîêóñîâ äî îäíîèì¸ííûõ äèðåê-
òðèñ ðàâíî ÷èñëîâîìó ýêñöåíòðèñèòåòó e .
    Òàêèì îáðàçîì ïàðàáîëà, ýëëèïñ è ãèïåðáîëà ìîãóò áûòü
ïîëó÷åíû èç îäíîé è òîé æå äèðåêòîðèàëüíî-ôîêàëüíîé êîíôèãó-
ðàöèè. Âñ¸ ðàçëè÷èå çàêëþ÷àåòñÿ â âåëè÷èíå ÷èñëîâîãî ýêñöåíòðè-
ñèòåòà e :
     e = 0 - îêðóæíîñòü, êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ýëëèïñà;
     0 ≤ e < 1 - ýëëèïñ;
     e = 1 - ïàðàáîëà;
     e > 1 - ãèïåðáîëà.

6.3.3. Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãèïåðáîëå

    Ðàññìîòðèì ïðàâóþ (x > 0) âåòâü ãèïåðáîëû äëÿ y > 0 , ãðà-
ôèê ôóíêöèè êîòîðîé åñòü
                                 b
                            y=     x 2 − a2 .
                                 a
    Òîãäà (ñì. ï. 6.2.3)
                            b   x     b2 x
                     y′ =     ⋅      = 2⋅ .
                            a x2 − a2 a y

Страницы