Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 177 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

177
()
Na
r
Na
aex
b
y
a
cx
N
d
1
2
0
2
0
1
1
0
1
=
+
=−
⋅
+
−⋅
=
,
Na
r
Na
aex
b
y
a
cx
N
d
2
2
0
2
0
2
1
0
1
=
−
=−
⋅
+
⋅
=
èëè
Nar
d
r
d 1
2
2
1
1
==
.
Èç ðèñ. 6.13 ìû âèäèì, ÷òî
ϕ= sin
1
1
r
d
, à
ψ= sin
2
2
r
d
èëè
ψ=ϕ
. (6.28)
Ñâîéñòâî (6.28) ãîâîðèò î
òîì, ÷òî êàñàòåëüíàÿ äåëèò óãîë
ìåæäó ðàäèóñ-âåêòîðàìè òî÷êè
()
000
yxM,
ëåæàùåé íà ãèïåðáîëå
ïîïîëàì. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè â îäèí ôîêóñ ïîìåñòèòü òî÷å÷íûé
èñòî÷íèê ñâåòà, òî ëó÷ ñâåòà âûõîäÿùèé èç ñîîòâåòñòâóþùåãî
ôîêóñà îòðàçèòñÿ îò ãèïåðáîëû ïî ëèíèè ñîåäèíÿþùå¸ äðóãîé ôî-
êóñ ãèïåðáîëû è òî÷êó
()
000
yxM,
. Âòîðîé ôîêóñ â ýòîì ñëó÷àå âû-
ñòóïàåò êàê ìíèìûé èñòî÷íèê ñâåòà.
6.4. Óðàâíåíèÿ ãèïåðáîë, ýëëèïñîâ è ïàðàáîë
îòíåñ¸ííûå ê âåðøèíå
Ðàññìîòðèì ãèïåðáîëó (6.18)
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
,
0>a
,
0>b
. (6.18)
Ïåðåíåñ¸ì íà÷àëî ÏÑÊ (ðèñ. 6.14) â ïðàâóþ âåðøèíó ãè-
ïåðáîëû. Ýòî ðàâíîñèëüíî ïðåîáðàçîâàíèþ
ψ
ϕ
ϕ
2
d
1
d
()
000
yxM,
2
r
r
1
r
r
c
c−
O
y
x
Ðèñ. 6.13.
12 À.À. Êèðñàíîâ
                                                                                    177

                          1 x0 ⋅ (− c ) y0 ⋅ 0  ex + a   r
                   d1 =                + 2 −1 =        = 1 ,
                          N    a  2
                                         b       Na     Na

                               1 x0 ⋅ c y0 ⋅ 0  ex − a   r
                    d2 =               + 2 −1 =        = 2
                               N a2      b       Na     Na
                                                  èëè
              y                     ϕ                          d1 d 2    1
                                                                  =    =
                   r              M0 (x0 , y0 )                r1   r2   Na .
                   r1
                        ϕ         r                     Èç ðèñ. 6.13 ìû âèäèì, ÷òî
                               ψ r2
                               d2                        d1            d
                                                            = sin ϕ , à 2 = sin ψ
−c            O                    c     x               r1             r2
         d1                                       èëè
                                                           ϕ=ψ. (6.28)
                                          Ñâîéñòâî (6.28) ãîâîðèò î
                                     òîì, ÷òî êàñàòåëüíàÿ äåëèò óãîë
        Ðèñ. 6.13.                   ìåæäó ðàäèóñ-âåêòîðàìè òî÷êè
                                     M0 (x0 , y0 ) ëåæàùåé íà ãèïåðáîëå
ïîïîëàì. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè â îäèí ôîêóñ ïîìåñòèòü òî÷å÷íûé
èñòî÷íèê ñâåòà, òî ëó÷ ñâåòà âûõîäÿùèé èç ñîîòâåòñòâóþùåãî
ôîêóñà îòðàçèòñÿ îò ãèïåðáîëû ïî ëèíèè ñîåäèíÿþùå¸ äðóãîé ôî-
êóñ ãèïåðáîëû è òî÷êó M0 (x0 , y0 ) . Âòîðîé ôîêóñ â ýòîì ñëó÷àå âû-
ñòóïàåò êàê ìíèìûé èñòî÷íèê ñâåòà.


6.4. Óðàâíåíèÿ ãèïåðáîë, ýëëèïñîâ è ïàðàáîë
     îòíåñ¸ííûå ê âåðøèíå

     Ðàññìîòðèì ãèïåðáîëó (6.18)
                          x2       y2
                               −        = 1, a > 0 , b > 0 .                    (6.18)
                          a2       b2
    Ïåðåíåñ¸ì íà÷àëî ÏÑÊ (ðèñ. 6.14) â ïðàâóþ âåðøèíó ãè-
ïåðáîëû. Ýòî ðàâíîñèëüíî ïðåîáðàçîâàíèþ

12 À.À. Êèðñàíîâ

Страницы