Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 179 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

179
axx +=
′
,
yy =
′
.
Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ýëëèïñà â íîâûõ êîîðäèíàòàõ6
()
1
2
2
2
2
=
′
+
−
′
b
y
a
ax
.
Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå
()
11
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
′
++
′
−
′
=
′
+
−
′
b
y
x
a
a
x
b
y
a
ax
,
2
2
22
2
2
x
a
b
x
a
b
y
′
−
′
=
′
. (6.31)
Ââåä¸ì îáîçíà÷åíèÿ
a
b
p
2
=
,
a
b
q
2
−=
è ïîäñòàâèì èõ â (6.31), â ðå-
çóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì óðàâíå-
íèå ýëëèïñà â ÏÑÊ
yxO
′′′
22
2
xqxpy
′
+
′
=
′
. (6.32)
Çäåñü
01
2
2
22
2
2
>−=
−
=−= e
a
ac
a
b
q
, ò.ê.
1<e
.
Ïðè
1=e
,
0=q
, òîãäà (6.32) ïðèíèìàåò âèä
pxy 2
2
=
,
ò.å. ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïàðàáîëû (6.1), ïîñêîëüêó íà÷àëî
ñèñòåìû êîîðäèíàò óæå ïîìåùåíî â âåðøèíó ïàðàáîëû è
Oxy
ñîâïàäàåò ñ
yxO
′′′
.
Òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèÿ ãèïåðáîë, ýëëèïñîâ è ïàðàáîë ìîæ-
íî çàäàòü îäíèì îáùèì óðàâíåíèåì âèäà
22
2
qxpxy +=
, (6.33)
êîòîðîå ïðè:
Ðèñ. 6.15.
c−
a−
O
′
y
′
x
′
c
O
y
x
12*
                                                                                        179

                                        x′ = x + a ,
                                            y′ = y .
      Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ýëëèïñà â íîâûõ êîîðäèíàòàõ6
                                 (x′ − a )2 + y′2        = 1.
                                       a2         b2
      Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå
                  (x′ − a )2 + y′ 2     =
                                            x′2
                                                  −
                                                      2         y′ 2
                                                        x′ + 1 + 2 = 1 ,
                     a2           b2        a2        a         b
y′            y                                                  b2     b2
                                                      y′ 2 = 2      x′ − 2 x′ 2 .   (6.31)
                                                                 a      a
                                                          Ââåä¸ì îáîçíà÷åíèÿ
O′                                          x′
− a −c        O              c              x                         b2       b2
                                                                 p=      , q=−
                                                                      a        a
                                                  è ïîäñòàâèì èõ â (6.31), â ðå-
                                                  çóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì óðàâíå-
           Ðèñ. 6.15.                             íèå ýëëèïñà â ÏÑÊ O′x′y′
                    y′2 = 2 px′ + qx′2 .                                            (6.32)
Çäåñü
                        b2       c2 − a2
                  q=−        =               = e 2 − 1 > 0 , ò.ê. e < 1 .
                        a2         a2
      Ïðè e = 1 , q = 0 , òîãäà (6.32) ïðèíèìàåò âèä
                                        y 2 = 2 px ,
ò.å. ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïàðàáîëû (6.1), ïîñêîëüêó íà÷àëî
ñèñòåìû êîîðäèíàò óæå ïîìåùåíî â âåðøèíó ïàðàáîëû è Oxy
ñîâïàäàåò ñ O′x′y′ .
     Òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèÿ ãèïåðáîë, ýëëèïñîâ è ïàðàáîë ìîæ-
íî çàäàòü îäíèì îáùèì óðàâíåíèåì âèäà
                    y 2 = 2 px + qx 2 ,                                             (6.33)
êîòîðîå ïðè:
12*

Страницы