Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 176 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

176
Äëÿ
0<y
èìååì
22
ax
a
b
y −−=
,
ya
b
ax
11
22
⋅−=
−
,
y
x
a
b
ax
x
a
b
y ⋅=
−
⋅−=
′
2
2
22
.
Òàêèì îáðàçîì, êàñàòåëüíàÿ ê ïðàâîé ãèïåðáîëå
()
0
>
x
â
ëþáîé å¸ òî÷êå
()
000
yxM,
çàäà¸òñÿ óðàâíåíèåì
()
0
0
2
0
2
0
xx
ya
xb
yy
−=−
.
Ðàññóæäàÿ äàëåå ïî àíàëîãèè ñ ï. 6.2.3 ïîëó÷èì óðàâíåíèå
êàñàòåëüíîé ê ãèïåðáîëå â òî÷êå
()
000
yxM,
1
2
0
2
0
=−
b
yy
a
xx
. (6.26)
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî æå óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïî-
ëó÷àåòñÿ è äëÿ ëåâîé âåòâè
()
0
<
x
ãèïåðáîëû.
6.3.4. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ãèïåðáîëû
Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ï. 6.2.4 ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (6.26) â
âèäå
01
2
0
2
0
=−−
b
yy
a
xx
. (6.27)
Ýòî åñòü ïðÿìàÿ ó êîòîðîé
2
0
a
x
A =
,
2
0
b
y
B −=
,
1−=C
.
Íàéä¸ì ðàññòîÿíèÿ (ðèñ. 6.13) îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ôîêóñîâ
()
0
1
,cF
−
è
()
0
2
,cF
äî êàñàòåëüíîé (6.27).
Èñïîëüçóÿ (5.68) ïîëó÷èì
176

       Äëÿ y < 0 èìååì

                            b                               1            b 1
                 y=−          x2 − a2 ,                             =−    ⋅
                            a                        x −a
                                                        2       2        a y,

                                      b   x     b2 x
                            y′ = −      ⋅      = 2⋅ .
                                      a x2 − a2 a y

       Òàêèì îáðàçîì, êàñàòåëüíàÿ ê ïðàâîé ãèïåðáîëå (x > 0) â
ëþáîé å¸ òî÷êå M0 (x0 , y0 ) çàäà¸òñÿ óðàâíåíèåì

                                              b 2 x0
                                 y − y0 =              (x − x0 ) .
                                              a 2 y0
    Ðàññóæäàÿ äàëåå ïî àíàëîãèè ñ ï. 6.2.3 ïîëó÷èì óðàâíåíèå
êàñàòåëüíîé ê ãèïåðáîëå â òî÷êå M0 (x0 , y0 )
                   xx0           yy0
                             −            =1.                                   (6.26)
                    a2           b2
    Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî æå óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïî-
ëó÷àåòñÿ è äëÿ ëåâîé âåòâè (x < 0) ãèïåðáîëû.

6.3.4. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ãèïåðáîëû

       Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ï. 6.2.4 ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (6.26) â
âèäå
                   xx0           yy0
                             −            −1 = 0 .                              (6.27)
                    a   2
                                 b2
       Ýòî åñòü ïðÿìàÿ ó êîòîðîé
                                  x0                   y0
                            A=            , B=−             , C = −1 .
                                  a   2
                                                       b2
       Íàéä¸ì ðàññòîÿíèÿ (ðèñ. 6.13) îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ôîêóñîâ
F1 (− c, 0 ) è F2 (c, 0) äî êàñàòåëüíîé (6.27).
       Èñïîëüçóÿ (5.68) ïîëó÷èì

Страницы